Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2021

El rayo de un láser se dirige hacia un bloque de plástico de sección rectangular e índice de refracción $n_v = 1{,}4$. El rayo se dirige en una dirección A y, después, en otra dirección B. Las dos direcciones se han representado en la figura. Use el portaángulos de $180^\circ$ dibujado para determinar el ángulo de incidencia del rayo sobre el bloque en cada caso.



a) Cuando el rayo ha seguido la dirección A dentro del aire, pasa por un punto P de la cara inferior del bloque, a la derecha del punto M de la vertical del punto de refracción. Calcule la distancia entre los puntos P y M. [0,8 puntos]

b) Calcule cuánto tiempo tarda la luz en avanzar 3 cm a lo largo del segmento R-P. [0,4 puntos]

c) Cuando el rayo ha seguido la dirección B dentro del aire, llega al punto Q de la cara derecha del bloque. Determine si el rayo se refleja totalmente o no en este punto. [0,8 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; ley de Snell, $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$.

$\textbf{a) Cuando el rayo ha seguido la dirección A dentro del aire, pasa por un punto P de la cara inferior del bloque, a la derecha del punto M de la vertical del punto de refracción. Calcule la distancia entre los puntos P y M. [0,8 puntos]}$










La cara superior del bloque es horizontal, de modo que la normal en el punto de entrada R es vertical. Sobre el portaángulos se lee que la dirección A forma con esa normal:

$\theta_A=25^\circ$

Al entrar en el plástico el rayo se acerca a la normal:

$\sin 25^\circ=1{,}4\sin\theta$

$\sin\theta=\dfrac{0{,}4226}{1{,}4}=0{,}3019\Rightarrow \theta=17{,}6^\circ$





Dentro del bloque el rayo recorre los 5 cm de grosor formando ese ángulo con la vertical RM, así que el triángulo RMP es rectángulo en M:

$\tan\theta=\dfrac{\overline{MP}}{\overline{RM}}\Rightarrow \overline{MP}=e\,\tan\theta$

$\overline{MP}=5\cdot\tan 17{,}6^\circ=5\cdot0{,}3169$

$\overline{MP}=1{,}58\ \text{cm}$

$\textbf{b) Calcule cuánto tiempo tarda la luz en avanzar 3 cm a lo largo del segmento R-P. [0,4 puntos]}$

El segmento R-P está dentro del plástico, donde la luz se propaga más despacio que en el vacío:

$v=\dfrac{c}{n_v}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}4}=2{,}14\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

El movimiento es rectilíneo y uniforme:

$t=\dfrac{e}{v}=\dfrac{3\cdot10^{-2}}{2{,}14\cdot10^{8}}$

$t=1{,}4\cdot10^{-10}\ \text{s}=0{,}14\ \text{ns}$

$\textbf{c) Cuando el rayo ha seguido la dirección B dentro del aire, llega al punto Q de la cara derecha del bloque. Determine si el rayo se refleja totalmente o no en este punto. [0,8 puntos]}$

Sobre el portaángulos se lee que la dirección B forma $55^\circ$ con la normal a la cara superior. Al entrar en el plástico:

$\sin 55^\circ=1{,}4\sin\theta'\Rightarrow \sin\theta'=\dfrac{0{,}8192}{1{,}4}=0{,}5851$

$\theta'=35{,}8^\circ$

Ese es el ángulo que forma el rayo con la vertical. Pero la cara derecha del bloque es vertical, así que su normal es horizontal y el ángulo de incidencia sobre ella es el complementario:

$\theta_Q=90^\circ-35{,}8^\circ=54{,}2^\circ$

Se compara con el ángulo límite del plástico en aire:

$\sin\theta_L=\dfrac{1}{n_v}=\dfrac{1}{1{,}4}=0{,}7143\Rightarrow \theta_L=45{,}6^\circ$

Como $54{,}2^\circ>45{,}6^\circ$, el rayo sí se refleja totalmente en el punto Q: no sale nada de luz por la cara derecha y toda vuelve al interior del bloque.

Obsérvese que un rayo más inclinado sobre la cara superior produce un rayo más tumbado respecto de la cara lateral, y por eso el rayo B se refleja totalmente mientras que el A ni siquiera llega a esa cara.