Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

El flujo de campo magnético a través de una espira circular durante el intervalo de 0 a 4 s está dado por la siguiente función del tiempo en segundos,

$\phi(t) = 4t - t^2\ \mu\text{Wb}.$

a) Calcule en qué instante la fuerza electromotriz inducida en la espira es cero y en qué instante del intervalo es máxima. Escriba el nombre de la ley usada para hacer el cálculo. [1 punto]

b) Determine el radio de la espira si el campo magnético es uniforme, tiene una intensidad de 0,2 mT y es perpendicular al plano de la espira en $t = 1\ \text{s}$. [1 punto]

Dato: $\text{fem} = -\dfrac{d\phi(t)}{dt}$.

$\textbf{a) Calcule en qué instante la fuerza electromotriz inducida en la espira es cero y en qué instante del intervalo es máxima. Escriba el nombre de la ley usada para hacer el cálculo. [1 punto]}$

La ley que se usa es la ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética: la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo magnético cambiada de signo.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-\dfrac{d}{dt}\left[(4t-t^2)\cdot10^{-6}\right]$

$\varepsilon(t)=-(4-2t)\cdot10^{-6}=(2t-4)\ \mu\text{V}$

La fuerza electromotriz es una función lineal del tiempo y se anula en un solo instante:

$2t-4=0\Rightarrow t=2\ \text{s}$

En ese instante el flujo pasa por su máximo —la parábola $4t-t^2$ tiene el vértice en $t=2\ \text{s}$— y por eso deja momentáneamente de variar.

Al ser lineal, el valor absoluto de la fuerza electromotriz es máximo en los extremos del intervalo:

$|\varepsilon(0)|=|{-4}|=4\ \mu\text{V},\qquad |\varepsilon(4)|=|4|=4\ \mu\text{V}$

Los dos valen lo mismo, de modo que la fuerza electromotriz alcanza su máximo, $4\ \mu\text{V}$, tanto en $t=0\ \text{s}$ como en $t=4\ \text{s}$. En el primer instante es negativa y en el segundo positiva, porque el flujo primero crece y después decrece.

$\textbf{b) Determine el radio de la espira si el campo magnético es uniforme, tiene una intensidad de 0,2 mT y es perpendicular al plano de la espira en }\boldsymbol{t = 1\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

Se evalúa el flujo en ese instante:

$\phi(1)=4\cdot1-1^2=3\ \mu\text{Wb}=3\cdot10^{-6}\ \text{Wb}$

Como el campo es perpendicular al plano de la espira, es paralelo al vector superficie y el flujo es máximo:

$\phi=B\,S\Rightarrow S=\dfrac{\phi}{B}=\dfrac{3\cdot10^{-6}}{0{,}2\cdot10^{-3}}$

$S=1{,}5\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

Y de la superficie del círculo se despeja el radio:

$S=\pi R^2\Rightarrow R=\sqrt{\dfrac{S}{\pi}}=\sqrt{\dfrac{1{,}5\cdot10^{-2}}{\pi}}$

$R=6{,}91\cdot10^{-2}\ \text{m}=6{,}91\ \text{cm}$

El radio de la espira es de $6{,}91\ \text{cm}$.