Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Entre dos hilos conductores rectos, infinitos y paralelos, hay una espira circular. La figura muestra el sentido de las corrientes en los hilos rectos y la posición y el diámetro de la espira. La intensidad de la corriente eléctrica en el hilo izquierdo siempre es el doble de la intensidad en el hilo derecho. Calcule:



a) La intensidad $I_1$ que ha de pasar por el hilo derecho para que el módulo del campo magnético en el punto C a causa de las corrientes de los dos hilos rectos valga 12 μT. [1 punto]

b) Si $I_1 = 1{,}2\ \text{A}$, calcule la intensidad $I_2$ que ha de pasar por la espira circular para que el campo magnético total en el centro C sea nulo. Indique y justifique el sentido de esta corriente. [1 punto]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot} = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$.

$\textbf{a) La intensidad }\boldsymbol{I_1}\textbf{ que ha de pasar por el hilo derecho para que el módulo del campo magnético en el punto C a causa de las corrientes de los dos hilos rectos valga 1}\boldsymbol{2\ \mu\text{T}}\textbf{. [1 punto]}$










El punto C es el centro de la espira y está a 4 cm de cada hilo, según las cotas de la figura.

Las dos corrientes van hacia arriba. Con la regla de la mano derecha, el hilo de la izquierda crea en C —que le queda a la derecha— un campo entrante en el papel, y el de la derecha, uno saliente.

Los dos campos son opuestos y el total es su diferencia.





Como la corriente del hilo izquierdo es el doble, su campo también lo es:

$B=\dfrac{\mu_0\,2I_1}{2\pi\,d}-\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,d}=\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,d}$

Se despeja la intensidad, con $d=4\ \text{cm}=0{,}04\ \text{m}$:

$I_1=\dfrac{2\pi\,d\,B}{\mu_0}=\dfrac{0{,}04\cdot12\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-7}}$

$I_1=2{,}4\ \text{A}$

Por el hilo derecho han de circular $2{,}4\ \text{A}$ (y $4{,}8\ \text{A}$ por el izquierdo). El campo resultante es perpendicular al plano de la figura y entrante, porque manda el hilo de la izquierda.

$\textbf{b) Si }\boldsymbol{I_1 = 1{,}2\ \text{A}}\textbf{, calcule la intensidad }\boldsymbol{I_2}\textbf{ que ha de pasar por la espira circular para que el campo magnético total en el centro C sea nulo. Indique y justifique el sentido de esta corriente. [1 punto]}$

Con la nueva intensidad, el campo de los dos hilos vale la mitad que antes:

$B=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot1{,}2}{0{,}04}=6{,}0\cdot10^{-6}\ \text{T}=6\ \mu\text{T}$

y sigue siendo entrante. Para anularlo, la espira ha de crear en su centro un campo de $6\ \mu\text{T}$ saliente del papel.

El campo en el centro de una espira circular es el que da el enunciado, con el radio, que es la mitad del diámetro:

$R=\dfrac{5}{2}=2{,}5\ \text{cm}=0{,}025\ \text{m}$

$I_2=\dfrac{2R\,B}{\mu_0}=\dfrac{2\cdot0{,}025\cdot6{,}0\cdot10^{-6}}{4\pi\cdot10^{-7}}$

$I_2=0{,}239\ \text{A}$

Por la espira han de circular $0{,}239\ \text{A}$ en sentido antihorario. La justificación es la regla de la mano derecha: si los dedos siguen el sentido antihorario, el pulgar apunta hacia fuera del papel, que es el sentido que ha de tener el campo para cancelar el de los hilos.