Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2021

Se crea una onda armónica de 3 cm de amplitud en la superficie del agua de un canal. Las crestas consecutivas de la onda están separadas 20 cm y se propagan a 0,25 m/s.

a) Escriba la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha con la perturbación positiva máxima en el origen de coordenadas en $t = 0$ y la ecuación particular de la onda en la superficie del agua descrita antes. [0,8 puntos]

b) Argumente cuál será el valor de la perturbación del nivel del agua de un punto de la superficie después de 0,4 s de haber estado en una cresta. [0,5 puntos]

c) Calcule el tiempo que ha de pasar desde que un punto está en una cresta hasta que se ha desplazado 4,5 cm desde la cresta hacia abajo. [0,7 puntos]

Datos: $y(x,t) = A\sin(k\,x \pm \omega\,t + \delta)$; $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$; $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$; $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\omega}{k}$.

$\textbf{a) Escriba la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha con la perturbación positiva máxima en el origen de coordenadas en }\boldsymbol{t = 0}\textbf{ y la ecuación particular de la onda en la superficie del agua descrita antes. [0,8 puntos]}$

Una onda armónica que se propaga hacia la derecha, es decir, hacia el sentido positivo del eje $X$, lleva el signo negativo en la fase:

$y(x,t)=A\sin(k\,x-\omega\,t+\delta)$

La condición de que la perturbación sea positiva y máxima en el origen en $t=0$ obliga a que el seno valga 1:

$\sin\delta=1\Rightarrow \delta=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

$y(x,t)=A\sin\left(k\,x-\omega\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

Ahora se identifican las magnitudes de la onda del enunciado. La longitud de onda es la separación entre crestas:

$\lambda=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}\Rightarrow k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=31{,}42\ \text{rad/m}$

Y de la velocidad de propagación se obtiene el período:

$T=\dfrac{\lambda}{v}=\dfrac{0{,}20}{0{,}25}=0{,}8\ \text{s}\Rightarrow \omega=\dfrac{2\pi}{T}=7{,}854\ \text{rad/s}$

La ecuación particular, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}03\sin\left(31{,}42\,x-7{,}854\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\textbf{b) Argumente cuál será el valor de la perturbación del nivel del agua de un punto de la superficie después de 0,4 s de haber estado en una cresta. [0,5 puntos]}$

Cada punto de la superficie describe un movimiento armónico simple de período $T=0{,}8\ \text{s}$. El tiempo que se pregunta es exactamente medio período:

$0{,}4\ \text{s}=\dfrac{T}{2}$

En media oscilación, un punto pasa de un extremo al otro. Si estaba en una cresta, medio período después está en el valle:

$y=-A=-3\ \text{cm}$

La perturbación vale $-3\ \text{cm}$, es decir, el punto está 3 cm por debajo del nivel de equilibrio.

$\textbf{c) Calcule el tiempo que ha de pasar desde que un punto está en una cresta hasta que se ha desplazado 4,5 cm desde la cresta hacia abajo. [0,7 puntos]}$

Se toma el origen de tiempos en el instante en que el punto está en la cresta. Su elongación es entonces:

$y(t)=A\cos(\omega\,t)$

Bajar 4,5 cm desde la cresta significa llegar a la elongación:

$y=3-4{,}5=-1{,}5\ \text{cm}$

Se impone esa condición:

$-1{,}5=3\cos(\omega\,t)\Rightarrow \cos(\omega\,t)=-0{,}5$

$\omega\,t=\arccos(-0{,}5)=\dfrac{2\pi}{3}=2{,}094\ \text{rad}$

Se despeja el tiempo:

$t=\dfrac{2{,}094}{7{,}854}=0{,}267\ \text{s}$

Han de pasar $0{,}267\ \text{s}$, es decir, un tercio de período. El punto ha recorrido primero la amplitud entera hacia abajo y después medio radio más.