Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un planeta pequeño sin atmósfera de $7{,}1\cdot10^{22}\ \text{kg}$ tiene un radio de 1700 km.

a) Un asteroide de media tonelada se dirige en línea recta hacia el centro del planeta. Cuando se encuentra a 14 000 km del centro, el asteroide se mueve a 5,2 km/s. Calcule la velocidad y la energía mecánica total del asteroide justo antes de impactar sobre el planeta. [1 punto]

b) Determine si un asteroide de media tonelada puede orbitar el planeta con una trayectoria circular o elíptica moviéndose a 5,2 km/s cuando está a 14 000 km del centro del planeta. Si puede, determine el período de la órbita circular. Si no puede, determine la velocidad que habría de tener para seguir una órbita circular de 14 000 km de radio. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Un asteroide de media tonelada se dirige en línea recta hacia el centro del planeta. Cuando se encuentra a 14 000 km del centro, el asteroide se mueve a 5,2 km/s. Calcule la velocidad y la energía mecánica total del asteroide justo antes de impactar sobre el planeta. [1 punto]}$

El planeta no tiene atmósfera, de modo que la única fuerza sobre el asteroide es la gravitatoria, que es conservativa: la energía mecánica se conserva.

$\dfrac12 m v_0^2-G\dfrac{M\,m}{r_0}=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{R}$

Se simplifica la masa del asteroide y se despeja la velocidad de impacto:

$v=\sqrt{v_0^2+2\,G\,M\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r_0}\right)}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $r_0=1{,}4\cdot10^{7}\ \text{m}$, $R=1{,}7\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $v_0=5200\ \text{m/s}$:

$v=\sqrt{5200^2+2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot7{,}1\cdot10^{22}\left(\dfrac{1}{1{,}7\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{1{,}4\cdot10^{7}}\right)}$

$v=\sqrt{2{,}704\cdot10^{7}+4{,}897\cdot10^{6}}=\sqrt{3{,}194\cdot10^{7}}$

$v=5{,}65\cdot10^{3}\ \text{m/s}=5{,}65\ \text{km/s}$

La energía mecánica es la misma en todo el recorrido, así que se puede calcular en la posición inicial, con $m=500\ \text{kg}$:

$E=\dfrac12\cdot500\cdot5200^2-\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot7{,}1\cdot10^{22}\cdot500}{1{,}4\cdot10^{7}}$

$E=6{,}76\cdot10^{9}-1{,}69\cdot10^{8}=6{,}59\cdot10^{9}\ \text{J}$

El asteroide impacta a $5{,}65\ \text{km/s}$ y su energía mecánica total es de $6{,}59\cdot10^{9}\ \text{J}$.

$\textbf{b) Determine si un asteroide de media tonelada puede orbitar el planeta con una trayectoria circular o elíptica moviéndose a 5,2 km/s cuando está a 14 000 km del centro del planeta. Si puede, determine el período de la órbita circular. Si no puede, determine la velocidad que habría de tener para seguir una órbita circular de 14 000 km de radio. [1 punto]}$

Las órbitas circulares y elípticas son trayectorias ligadas, y un cuerpo solo está ligado si su energía mecánica es negativa. La energía calculada en el apartado anterior es

$E=+6{,}59\cdot10^{9}\ \text{J}>0$

de modo que el asteroide no puede orbitar el planeta con ninguna de esas dos trayectorias: sea cual sea la dirección de su velocidad, escapará describiendo una hipérbola.

Para seguir una órbita circular de 14 000 km de radio, la fuerza gravitatoria tendría que ser exactamente la fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M\,m}{r_0^2}=\dfrac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r_0}\Rightarrow v_{\text{orb}}=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r_0}}$

$v_{\text{orb}}=\sqrt{\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot7{,}1\cdot10^{22}}{1{,}4\cdot10^{7}}}=\sqrt{3{,}385\cdot10^{5}}$

$v_{\text{orb}}=582\ \text{m/s}$

Haría falta una velocidad de $582\ \text{m/s}$, y además perpendicular al radio: casi nueve veces menor que la que lleva el asteroide.