Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2022

a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años habrían de pasar para que la actividad de la muestra se redujese a una sexta parte de la actividad inicial. [0,75 puntos]

b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,25 puntos]

c) Una muestra de un objeto de madera da 15 900 desintegraciones por día. La misma masa de madera actual da 850 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]

Datos: $T_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5730\ \text{a}$; $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$; $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

$\textbf{a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años habrían de pasar para que la actividad de la muestra se redujese a una sexta parte de la actividad inicial. [0,75 puntos]}$

La actividad decae según la ley de desintegración radiactiva:

$A(t)=A_0\,e^{-\lambda t}$

con la constante de desintegración que se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{5730}=1{,}2097\cdot10^{-4}\ \text{a}^{-1}$

Se impone que la actividad sea la sexta parte de la inicial:

$\dfrac{A_0}{6}=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow e^{\lambda t}=6$

$t=\dfrac{\ln 6}{\lambda}=\dfrac{1{,}7918}{1{,}2097\cdot10^{-4}}$

$t=1{,}48\cdot10^{4}\ \text{a}$

Han de pasar unos $14\,800$ años, algo más de dos períodos y medio de semidesintegración.

$\textbf{b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,25 puntos]}$

El carbono 14 tiene exceso de neutrones y se desintegra por emisión $\beta^-$: uno de sus neutrones se convierte en un protón, y se emiten un electrón y un antineutrino electrónico.

${}^{14}_{6}\text{C}\rightarrow{}^{14}_{7}\text{N}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad: el carbono 14 se convierte en nitrógeno 14, que es estable.

$\textbf{c) Una muestra de un objeto de madera da 15 900 desintegraciones por día. La misma masa de madera actual da 850 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]}$

Mientras el árbol vive, su carbono 14 se renueva con el del ambiente y su actividad es la de la madera actual; al morir deja de reponerse y decae.

Las dos actividades han de estar en las mismas unidades, así que se pasa la de la muestra antigua a desintegraciones por hora:

$A=\dfrac{15\,900}{24}=662{,}5\ \text{h}^{-1},\qquad A_0=850\ \text{h}^{-1}$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración:

$t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}=\dfrac{1}{1{,}2097\cdot10^{-4}}\ln\dfrac{850}{662{,}5}$

$t=\dfrac{0{,}2492}{1{,}2097\cdot10^{-4}}=2{,}06\cdot10^{3}\ \text{a}$

El método del carbono 14 da una antigüedad de unos 2060 años para el objeto de madera.