Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2022

A 25 m de una fuente sonora que genera un frente de onda esférico se miden 84,0 dB. Calcule:

a) Los decibelios que se miden a 80 m de la fuente. [0,6 puntos]

b) La distancia de la fuente a la que se miden 85,0 dB. [0,6 puntos]

c) La reducción en decibelios de la intensidad del sonido cuando se duplica la distancia a la fuente para cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]

Datos: $I(\text{dB}) = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}\ \text{W m}^{-2}}$; $I_1\,4\pi r_1^2 = I_2\,4\pi r_2^2$.

$\textbf{a) Los decibelios que se miden a 80 m de la fuente. [0,6 puntos]}$

El frente de onda es esférico y no hay absorción, de modo que la misma potencia atraviesa cualquier esfera centrada en la fuente y la intensidad va con el inverso del cuadrado de la distancia:

$I_1\,4\pi r_1^2=I_2\,4\pi r_2^2\Rightarrow \dfrac{I_2}{I_1}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$

Restando las dos expresiones del nivel de intensidad sonora:

$\beta_2-\beta_1=10\log\dfrac{I_2}{I_1}=20\log\dfrac{r_1}{r_2}$

$\beta_2-\beta_1=20\log\dfrac{25}{80}=20\cdot(-0{,}505)=-10{,}1\ \text{dB}$

$\beta_2=84{,}0-10{,}1=73{,}9\ \text{dB}$

A 80 m de la fuente se miden $73{,}9\ \text{dB}$.

$\textbf{b) La distancia de la fuente a la que se miden 85,0 dB. [0,6 puntos]}$

Se busca ahora una medida un decibelio mayor, es decir, más cerca de la fuente:

$85{,}0-84{,}0=20\log\dfrac{25}{r}$

$\log\dfrac{25}{r}=\dfrac{1{,}0}{20}=0{,}05\Rightarrow \dfrac{25}{r}=10^{0{,}05}=1{,}122$

$r=\dfrac{25}{1{,}122}=22{,}3\ \text{m}$

Los $85{,}0\ \text{dB}$ se miden a $22{,}3\ \text{m}$ de la fuente. Basta acercarse menos de tres metros para ganar un decibelio, porque la escala es logarítmica.

$\textbf{c) La reducción en decibelios de la intensidad del sonido cuando se duplica la distancia a la fuente para cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]}$

Se repite el razonamiento con $r_2=2r_1$, sin fijar ningún valor concreto:

$\Delta\beta=20\log\dfrac{r_1}{r_2}=20\log\dfrac{r_1}{2r_1}=20\log\dfrac12$

$\Delta\beta=-20\cdot0{,}301=-6{,}0\ \text{dB}$

Al duplicar la distancia el nivel baja $6{,}0\ \text{dB}$, y siempre lo mismo, sea cual sea la distancia de partida. La razón es que la intensidad se reduce a la cuarta parte y el nivel depende del logaritmo del cociente de intensidades, que solo depende de la razón entre distancias.