Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2022

Un rayo de luz atraviesa una lámina de vidrio de índice de refracción 1,47 y 5 cm de grosor. El rayo sigue inicialmente la línea L que muestra la figura. El ángulo de incidencia del rayo se mide con la escala marcada en grados.



a) Calcule el ángulo $\theta_k$. [0,6 puntos]

b) Dibuje la línea L y la trayectoria del rayo cuando sale del vidrio de manera cualitativamente correcta. ¿Atraviesa el rayo al salir del vidrio la línea L? Justifique la respuesta brevemente. [0,6 puntos]

c) Calcule la distancia $x$. [0,6 puntos]

d) ¿Hay algún ángulo de incidencia para el cual $x$ tiene un valor máximo? Si lo hay, calcule este valor máximo. Si no, indique por qué no hay máximo. [0,2 puntos]

Dato: ley de Snell, $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$.

$\textbf{a) Calcule el ángulo }\boldsymbol{\theta_k}\textbf{. [0,6 puntos]}$

Las caras de la lámina son verticales, de modo que la normal es horizontal. Sobre la escala graduada se lee el ángulo que forma con ella el rayo incidente:

$\theta_1=40^\circ$

Se aplica la ley de Snell en la cara de entrada, del aire al vidrio:

$\sin\theta_1=n_v\sin\theta_k$

$\sin\theta_k=\dfrac{\sin 40^\circ}{1{,}47}=\dfrac{0{,}6428}{1{,}47}=0{,}4373$

$\theta_k=\arcsin(0{,}4373)=25{,}9^\circ$

$\textbf{b) Dibuje la línea L y la trayectoria del rayo cuando sale del vidrio de manera cualitativamente correcta. ¿Atraviesa el rayo al salir del vidrio la línea L? Justifique la respuesta brevemente. [0,6 puntos]}$










Al entrar en el vidrio el rayo se acerca a la normal, de modo que dentro de la lámina va por debajo de la línea L.

En la cara de salida las dos caras son paralelas, así que el ángulo de incidencia desde dentro vuelve a ser $\theta_k$ y la ley de Snell da:

$n_v\sin\theta_k=\sin\theta_3\Rightarrow \theta_3=\theta_1=40^\circ$





El rayo emergente forma con la normal el mismo ángulo que el incidente, así que es paralelo a la línea L. Y no la atraviesa: dos rectas paralelas y distintas no se cortan nunca. El rayo sale desplazado lateralmente y sigue su camino junto a L, siempre por debajo.

$\textbf{c) Calcule la distancia }\boldsymbol{x}\textbf{. [0,6 puntos]}$

La distancia $x$ es la separación vertical, medida sobre la cara de salida, entre la línea L y el punto por el que sale realmente el rayo.

Si la lámina no existiera, el rayo habría subido, a lo largo de los 5 cm de grosor:

$h_L=e\,\tan\theta_1=5\cdot\tan 40^\circ=4{,}195\ \text{cm}$

Como sí existe, el rayo va más tumbado hacia la normal y solo sube:

$h=e\,\tan\theta_k=5\cdot\tan 25{,}9^\circ=2{,}431\ \text{cm}$

La diferencia es la distancia pedida:

$x=e\,(\tan\theta_1-\tan\theta_k)=4{,}195-2{,}431$

$x=1{,}76\ \text{cm}$

$\textbf{d) ¿Hay algún ángulo de incidencia para el cual }\boldsymbol{x}\textbf{ tiene un valor máximo? Si lo hay, calcule este valor máximo. Si no, indique por qué no hay máximo. [0,2 puntos]}$

No hay máximo. La distancia depende del ángulo de incidencia según

$x(\theta_1)=e\,(\tan\theta_1-\tan\theta_k),\qquad \sin\theta_k=\dfrac{\sin\theta_1}{n_v}$

y es una función creciente de $\theta_1$. El ángulo dentro del vidrio está acotado: por mucho que crezca $\theta_1$, nunca supera el valor límite

$\theta_k^{\max}=\arcsin\dfrac{1}{1{,}47}=42{,}9^\circ$

de manera que $\tan\theta_k$ se queda por debajo de 0,93. En cambio, $\tan\theta_1$ tiende a infinito cuando la incidencia se hace rasante, $\theta_1\to90^\circ$. Por tanto $x$ crece sin límite y no alcanza ningún máximo dentro del intervalo de ángulos posibles.