Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2022

Se dispone de una lente delgada de $+350\ \text{mm}$ de distancia focal.

a) La figura representa la lente y un objeto a 200 mm de la lente. Copie la figura y dibuje los tres rayos principales para determinar la imagen del objeto. [1 punto]



b) Calcule con la ecuación de Descartes la distancia entre la lente y la imagen de una flecha con el pie sobre el eje óptico a 400 mm a la izquierda de la lente. Indique explícitamente si la imagen se forma a la izquierda o a la derecha de la lente. [0,6 puntos]

c) La imagen de una flecha de 5 mm de altura con el pie a 0,85 m de la lente es real y está a 595 mm de la lente. Calcule la altura de la imagen e indique si la imagen está derecha o invertida. Justifique la respuesta. [0,4 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) La figura representa la lente y un objeto a 200 mm de la lente. Copie la figura y dibuje los tres rayos principales para determinar la imagen del objeto. [1 punto]}$










El objeto está dentro de la distancia focal, porque $200\ \text{mm}<350\ \text{mm}$. Los tres rayos principales son:

i) El rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen $F'$.

ii) El rayo cuya prolongación pasa por el foco objeto $F$, que tras la lente sale paralelo al eje.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.





Los tres rayos emergentes divergen, así que lo que se corta son sus prolongaciones, dibujadas con línea discontinua. Aplicando la ecuación de Descartes con $s=-200\ \text{mm}$:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{350}-\dfrac{1}{200}=-2{,}143\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow s'=-466{,}7\ \text{mm}$

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-466{,}7}{-200}=2{,}33$

La imagen es virtual, derecha y 2,33 veces mayor: la lente trabaja como lupa.

$\textbf{b) Calcule con la ecuación de Descartes la distancia entre la lente y la imagen de una flecha con el pie sobre el eje óptico a 400 mm a la izquierda de la lente. Indique explícitamente si la imagen se forma a la izquierda o a la derecha de la lente. [0,6 puntos]}$

Ahora el objeto está más allá del foco, así que cabe esperar una imagen real. Con el criterio DIN, $s=-400\ \text{mm}$:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{350}+\dfrac{1}{-400}$

$\dfrac{1}{s'}=2{,}857\cdot10^{-3}-2{,}500\cdot10^{-3}=3{,}571\cdot10^{-4}\ \text{mm}^{-1}$

$s'=+2800\ \text{mm}$

La imagen se forma a 2800 mm —2,8 m— de la lente. El signo positivo indica que está a la derecha de la lente, del lado por donde sale la luz: es una imagen real. Está tan lejos porque el objeto se encuentra muy cerca del foco.

$\textbf{c) La imagen de una flecha de 5 mm de altura con el pie a 0,85 m de la lente es real y está a 595 mm de la lente. Calcule la altura de la imagen e indique si la imagen está derecha o invertida. Justifique la respuesta. [0,4 puntos]}$

Que la imagen sea real significa que se forma a la derecha de la lente, de modo que $s'=+595\ \text{mm}$, mientras que el objeto está a $s=-850\ \text{mm}$.

El aumento lateral es:

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{595}{-850}=-0{,}70$

Y la altura de la imagen:

$y'=M_T\,y=-0{,}70\cdot5=-3{,}5\ \text{mm}$

La imagen mide $3{,}5\ \text{mm}$ y está invertida, como indica el signo negativo del aumento. Es lo que corresponde siempre a una imagen real dada por una lente convergente.

Puede comprobarse que los datos son coherentes con la lente del enunciado:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{595}-\dfrac{1}{-850}=2{,}857\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow f'=350\ \text{mm}$