Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

La figura representa cuatro hilos conductores rectos, paralelos y de longitud infinita que llevan corrientes de las intensidades escritas al lado de las flechas que indican el sentido de cada corriente.



a) Calcule la intensidad del campo magnético en el punto M a causa de la corriente del hilo número 2. [0,4 puntos]

b) Dibuje los hilos y los vectores que representan los campos magnéticos $\mathbf{B}_1$, $\mathbf{B}_2$, $\mathbf{B}_3$ y $\mathbf{B}_4$ en el punto M a causa de cada una de las corrientes. [0,4 puntos]

c) Dibuje el hilo número 3 y los vectores que representan cualitativamente las fuerzas a causa de las corrientes de los otros tres hilos. Identifique los vectores. [0,4 puntos]

d) Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el hilo número 3 a causa de las otras tres corrientes. Dibuje o describa explícitamente la dirección y el sentido de la fuerza total. [0,8 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos, $\dfrac{F}{L} = \mu_0\,\dfrac{I_1 I_2}{2\pi d}$.

$\textbf{a) Calcule la intensidad del campo magnético en el punto M a causa de la corriente del hilo número 2. [0,4 puntos]}$

El punto M está a 3 mm del hilo 2, según las cotas de la figura. El módulo del campo creado por un hilo indefinido es:

$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot9}{2\pi\cdot3\cdot10^{-3}}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot9}{3\cdot10^{-3}}$

$B_2=6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}=0{,}60\ \text{mT}$

El hilo 2 lleva la corriente hacia abajo y M queda a su izquierda, así que por la regla de la mano derecha ese campo es entrante en el plano del papel.

$\textbf{b) Dibuje los hilos y los vectores que representan los campos magnéticos }\boldsymbol{\vec B_1}\textbf{, }\boldsymbol{\vec B_2}\textbf{, }\boldsymbol{\vec B_3}\textbf{ y }\boldsymbol{\vec B_4}\textbf{ en el punto M a causa de cada una de las corrientes. [0,4 puntos]}$










Todos los campos son perpendiculares al plano del papel; lo único que hay que decidir es si entran o salen y cuánto valen.

Con la regla de la mano derecha: un hilo con la corriente hacia abajo crea a su derecha un campo saliente y a su izquierda uno entrante; si la corriente va hacia arriba, ocurre al revés.





Las distancias de M a cada hilo son 3, 3, 6 y 10 mm, y los módulos resultan:

$B_1=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot6}{3\cdot10^{-3}}=4{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}\ \text{(saliente)}$

$B_2=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot9}{3\cdot10^{-3}}=6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}\ \text{(entrante)}$

$B_3=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot18}{6\cdot10^{-3}}=6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}\ \text{(saliente)}$

$B_4=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot12}{10\cdot10^{-3}}=2{,}4\cdot10^{-4}\ \text{T}\ \text{(entrante)}$

Sumándolos con su signo, el campo total en M resulta $1{,}6\cdot10^{-4}\ \text{T}$ saliente del papel.

$\textbf{c) Dibuje el hilo número 3 y los vectores que representan cualitativamente las fuerzas a causa de las corrientes de los otros tres hilos. Identifique los vectores. [0,4 puntos]}$










El hilo 3 es el único que lleva la corriente hacia arriba; los otros tres la llevan hacia abajo. Dos corrientes paralelas de sentido contrario se repelen, de modo que las tres fuerzas sobre el hilo 3 son repulsivas.

Las de los hilos 1 y 2, que están a su izquierda, lo empujan hacia la derecha; la del hilo 4, que está a su derecha, lo empuja hacia la izquierda.





$\textbf{d) Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el hilo número 3 a causa de las otras tres corrientes. Dibuje o describa explícitamente la dirección y el sentido de la fuerza total. [0,8 puntos]}$

Se aplica la expresión del enunciado a cada pareja, con las distancias 9, 3 y 4 mm:

$\dfrac{F_{1\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{6\cdot18}{9\cdot10^{-3}}=2{,}4\cdot10^{-3}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la derecha)}$

$\dfrac{F_{2\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{9\cdot18}{3\cdot10^{-3}}=1{,}08\cdot10^{-2}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la derecha)}$

$\dfrac{F_{4\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{12\cdot18}{4\cdot10^{-3}}=1{,}08\cdot10^{-2}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la izquierda)}$

Las tres son paralelas, así que la resultante es la suma algebraica. Las de los hilos 2 y 4 son iguales y opuestas y se cancelan exactamente:

$\dfrac{F}{L}=2{,}4\cdot10^{-3}+1{,}08\cdot10^{-2}-1{,}08\cdot10^{-2}=2{,}4\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$

La fuerza total sobre el hilo 3 vale $2{,}4\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia la derecha, es decir, alejándose de los hilos 1 y 2. Solo sobrevive la repulsión del hilo 1.