Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

Una partícula $\alpha$ se mueve dentro de un campo magnético uniforme y en un instante dado tiene la velocidad $\mathbf{v}$ representada en la figura.



a) Escriba el apellido del físico que da nombre a la fuerza magnética sobre la partícula. [0,25 puntos]

b) Escriba cuál de las trayectorias sigue la partícula. Las líneas P son arcos parabólicos y las C, arcos circulares. Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]

c) Calcule cuántas vueltas completas hace la partícula durante 5 μs si la velocidad inicial es de 290 km/s y la intensidad del campo magnético es de 0,45 T. Justifique el cálculo. [1 punto]

Datos: $m_\alpha = 6{,}64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $q_\alpha = 3{,}20\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$.

$\textbf{a) Escriba el apellido del físico que da nombre a la fuerza magnética sobre la partícula. [0,25 puntos]}$

Lorentz. La fuerza que ejerce un campo magnético sobre una carga en movimiento se llama fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

$\textbf{b) Escriba cuál de las trayectorias sigue la partícula. Las líneas P son arcos parabólicos y las C, arcos circulares. Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]}$










La partícula sigue la trayectoria $C_1$.

Hay dos cosas que decidir: la forma de la curva y hacia qué lado se dobla.

La forma es circular. La fuerza de Lorentz es siempre perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia; una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad es exactamente una fuerza centrípeta, y la trayectoria es una circunferencia. Las trayectorias parabólicas corresponderían a una fuerza constante en módulo y dirección, como la de un campo eléctrico uniforme.





El sentido se obtiene del producto vectorial. Tomando el eje $X$ hacia la derecha, el $Y$ hacia arriba y el $Z$ saliente del papel, el campo es entrante y la velocidad horizontal:

$\vec v=v\,\vec\imath,\qquad \vec B=-B\,\vec k$

$\vec F=q\,(v\,\vec\imath)\times(-B\,\vec k)=-q\,v\,B\,(\vec\imath\times\vec k)=+q\,v\,B\,\vec\jmath$

La partícula $\alpha$ tiene carga positiva, de modo que la fuerza apunta hacia arriba y la trayectoria se curva hacia arriba: es la $C_1$.

$\textbf{c) Calcule cuántas vueltas completas hace la partícula durante }\boldsymbol{5\ \mu\text{s}}\textbf{ si la velocidad inicial es de 290 km/s y la intensidad del campo magnético es de 0,45 T. Justifique el cálculo. [1 punto]}$

En el movimiento circular la fuerza de Lorentz hace de fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

El período es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{|q|\,B}=\dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$

La velocidad se simplifica: el período no depende de ella, de modo que el dato de los 290 km/s no hace falta para este apartado. Se sustituyen los datos:

$T=\dfrac{2\pi\cdot6{,}64\cdot10^{-27}}{3{,}20\cdot10^{-19}\cdot0{,}45}=\dfrac{4{,}171\cdot10^{-26}}{1{,}44\cdot10^{-19}}$

$T=2{,}90\cdot10^{-7}\ \text{s}$

El número de vueltas en 5 μs es:

$n=\dfrac{t}{T}=\dfrac{5\cdot10^{-6}}{2{,}90\cdot10^{-7}}=17{,}26$

La partícula completa 17 vueltas enteras, y se queda a un cuarto de camino de la decimoctava.