Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos cargas puntuales de 12 nC cada una están en los vértices de un rectángulo como muestra la figura.



a) Represente las fuerzas sobre un electrón en el punto P a causa de cada carga y la fuerza total. [0,5 puntos]

b) Calcule la fuerza total sobre el electrón y su módulo. [0,75 puntos]

c) Calcule el módulo del trabajo para llevar una carga de 8 nC del punto P al punto M en el campo de las dos cargas de 12 nC. [0,75 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $V = K\,\dfrac{q}{r}$.

$\textbf{a) Represente las fuerzas sobre un electrón en el punto P a causa de cada carga y la fuerza total. [0,5 puntos]}$










Las dos cargas son positivas y el electrón es negativo, así que las dos fuerzas son atractivas: cada una apunta desde P hacia la carga correspondiente.

La de la carga inferior es horizontal, hacia la izquierda; la de la superior lleva la dirección de la diagonal del rectángulo, hacia arriba y hacia la izquierda.





La resultante se obtiene con la regla del paralelogramo y queda dirigida hacia el interior del rectángulo.

$\textbf{b) Calcule la fuerza total sobre el electrón y su módulo. [0,75 puntos]}$

Las distancias de P a cada carga son:

$r_1=8\ \mu\text{m}=8\cdot10^{-6}\ \text{m}$

$r_2=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mu\text{m}=1\cdot10^{-5}\ \text{m}$

Los módulos de las dos fuerzas son:

$F_1=K\dfrac{q\,|e|}{r_1^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{12\cdot10^{-9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{(8\cdot10^{-6})^2}=2{,}70\cdot10^{-7}\ \text{N}$

$F_2=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{12\cdot10^{-9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}{(10^{-5})^2}=1{,}73\cdot10^{-7}\ \text{N}$

Con el eje $X$ horizontal hacia la derecha, la primera es:

$\vec F_1=-2{,}70\cdot10^{-7}\,\vec\imath\ \text{N}$

Y la segunda lleva la dirección de la diagonal, de vector unitario $(-0{,}8\ ;\ 0{,}6)$:

$\vec F_2=-1{,}38\cdot10^{-7}\,\vec\imath+1{,}04\cdot10^{-7}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Por el principio de superposición:

$\vec F=-4{,}08\cdot10^{-7}\,\vec\imath+1{,}04\cdot10^{-7}\,\vec\jmath\ \text{N}$

$F=\sqrt{(4{,}08\cdot10^{-7})^2+(1{,}04\cdot10^{-7})^2}=4{,}21\cdot10^{-7}\ \text{N}$

$\textbf{c) Calcule el módulo del trabajo para llevar una carga de 8 nC del punto P al punto M en el campo de las dos cargas de 12 nC. [0,75 puntos]}$

Se calculan los potenciales en los dos puntos, sumando el de cada carga como escalares.

En P las distancias son 8 μm y 10 μm:

$V(\text{P})=9\cdot10^{9}\cdot12\cdot10^{-9}\left(\dfrac{1}{8\cdot10^{-6}}+\dfrac{1}{10^{-5}}\right)=2{,}43\cdot10^{7}\ \text{V}$

El punto M está en la mitad del lado derecho, así que equidista de las dos cargas:

$r_M=\sqrt{8^2+3^2}=8{,}544\ \mu\text{m}=8{,}544\cdot10^{-6}\ \text{m}$

$V(\text{M})=9\cdot10^{9}\cdot12\cdot10^{-9}\cdot\dfrac{2}{8{,}544\cdot10^{-6}}=2{,}528\cdot10^{7}\ \text{V}$

El trabajo que hay que hacer para llevar la carga de P a M es:

$|W|=|q\,[V(\text{M})-V(\text{P})]|=8\cdot10^{-9}\cdot(2{,}528\cdot10^{7}-2{,}43\cdot10^{7})$

$|W|=8\cdot10^{-9}\cdot9{,}81\cdot10^{5}=7{,}85\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El módulo del trabajo es $7{,}85\cdot10^{-3}\ \text{J}$. Como M está a mayor potencial que P y la carga es positiva, ese trabajo lo tiene que hacer una fuerza externa contra el campo.