Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

El efecto fotoeléctrico no se pudo explicar con la física clásica del siglo XIX.

a) Otros hechos experimentales tampoco se podían explicar con la física clásica. Escriba los nombres de dos de estos otros hechos. [0,4 puntos]

b) Una luz monocromática de 537 nm ilumina una placa de aluminio, una de silicio y una de sodio. Determine cuáles de estas placas emiten electrones por efecto fotoeléctrico. [0,7 puntos]

c) Calcule en cada caso la velocidad máxima de los electrones. [0,6 puntos]

d) ¿Cuál es el cambio de la velocidad máxima de los electrones emitidos cuando la intensidad de la luz se cuadruplica? Justifique la respuesta. [0,3 puntos]

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; trabajos de extracción: sodio 2,28 eV; silicio 3,59 eV; aluminio 4,08 eV.

$\textbf{a) Otros hechos experimentales tampoco se podían explicar con la física clásica. Escriba los nombres de dos de estos otros hechos. [0,4 puntos]}$

Dos hechos experimentales que la física clásica no pudo explicar son:

- La radiación del cuerpo negro. La teoría clásica predecía que la energía emitida crecía sin límite al disminuir la longitud de onda —la llamada catástrofe ultravioleta—, en contra de lo que se medía. Planck la resolvió suponiendo que la energía se emite y se absorbe en cuantos.

- Los espectros atómicos discontinuos. Los átomos emiten y absorben solo unas frecuencias determinadas, y no un espectro continuo como exigía la electrodinámica clásica; además, según esta, el electrón acelerado del modelo de Rutherford debería caer sobre el núcleo.

Valen igualmente el efecto Compton o el calor específico de los sólidos a bajas temperaturas.

$\textbf{b) Una luz monocromática de 537 nm ilumina una placa de aluminio, una de silicio y una de sodio. Determine cuáles de estas placas emiten electrones por efecto fotoeléctrico. [0,7 puntos]}$

Solo hay emisión si la energía del fotón supera el trabajo de extracción del metal. Se calcula primero esa energía:

$E=h\dfrac{c}{\lambda}=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{537\cdot10^{-9}}=3{,}70\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y se pasa a electronvoltios para poder compararla con la tabla:

$E=\dfrac{3{,}70\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=2{,}31\ \text{eV}$

Se compara con cada trabajo de extracción:

- Sodio: $2{,}28\ \text{eV}<2{,}31\ \text{eV}$, sí hay emisión.

- Silicio: $3{,}59\ \text{eV}>2{,}31\ \text{eV}$, no hay emisión.

- Aluminio: $4{,}08\ \text{eV}>2{,}31\ \text{eV}$, no hay emisión.

Solo la placa de sodio emite electrones, y por muy poco.

$\textbf{c) Calcule en cada caso la velocidad máxima de los electrones. [0,6 puntos]}$

En las placas de silicio y de aluminio no se emite ningún electrón, así que no cabe hablar de velocidad máxima: los fotones no tienen energía suficiente para arrancar ninguno, por intensa que sea la luz.

Para el sodio, la energía cinética máxima es lo que sobra tras pagar el trabajo de extracción:

$E_{c,\text{máx}}=E-W_{\text{ext}}=2{,}31-2{,}28=0{,}034\ \text{eV}$

Se pasa a julios:

$E_{c,\text{máx}}=0{,}034\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=5{,}37\cdot10^{-21}\ \text{J}$

Y se despeja la velocidad:

$v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot5{,}37\cdot10^{-21}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}$

$v_{\text{máx}}=1{,}09\cdot10^{5}\ \text{m/s}=109\ \text{km/s}$

Es una velocidad pequeña para un electrón fotoemitido, precisamente porque la energía del fotón apenas supera el trabajo de extracción del sodio.

$\textbf{d) ¿Cuál es el cambio de la velocidad máxima de los electrones emitidos cuando la intensidad de la luz se cuadruplica? Justifique la respuesta. [0,3 puntos]}$

No cambia: la velocidad máxima sigue siendo la misma.

Cuadruplicar la intensidad de una luz monocromática significa cuadruplicar el número de fotones que llegan cada segundo, pero no la energía de cada uno, que solo depende de la frecuencia. Como el efecto fotoeléctrico es una interacción individual entre un fotón y un electrón, el balance energético

$h\,f=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{máx}}$

no se altera y la energía cinética máxima —y con ella la velocidad máxima— es idéntica. Lo que sí se cuadruplica es el número de electrones emitidos, es decir, la intensidad de la corriente fotoeléctrica.