Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2022

a) Calcule la distancia focal de una lente delgada si la imagen de un objeto de 2 mm de altura creada por la lente es virtual, tiene 8 mm de altura y se forma a 18 cm de la lente. Escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,2 puntos]

b) Un objeto de 3 cm de altura está situado con el pie sobre el eje óptico a 7 cm de una lente delgada de $+35\ \text{mm}$ de distancia focal. Determine la imagen del objeto con el trazado de los tres rayos principales. [0,8 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) Calcule la distancia focal de una lente delgada si la imagen de un objeto de 2 mm de altura creada por la lente es virtual, tiene 8 mm de altura y se forma a 18 cm de la lente. Escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,2 puntos]}$

Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias medidas en ese sentido son positivas. Que la imagen sea virtual significa que se forma del mismo lado que el objeto, de modo que:

$s'=-18\ \text{cm}=-180\ \text{mm}$

La imagen es cuatro veces mayor que el objeto. Una lente divergente, con un objeto real, da siempre una imagen virtual y más pequeña, así que la lente ha de ser convergente y la imagen, derecha:

$M_T=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{8}{2}=+4$

De la expresión del aumento se obtiene la distancia del objeto:

$M_T=\dfrac{s'}{s}\Rightarrow s=\dfrac{s'}{M_T}=\dfrac{-180}{4}=-45\ \text{mm}$

Y de la ecuación de Descartes, la distancia focal:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{-180}-\dfrac{1}{-45}$

$\dfrac{1}{f'}=-5{,}556\cdot10^{-3}+2{,}222\cdot10^{-2}=1{,}667\cdot10^{-2}\ \text{mm}^{-1}$

$f'=+60\ \text{mm}$

La distancia focal es de $+60\ \text{mm}$ y la lente es convergente. El objeto está a 45 mm, dentro de la distancia focal, que es la condición para que la imagen salga virtual y aumentada.

$\textbf{b) Un objeto de 3 cm de altura está situado con el pie sobre el eje óptico a 7 cm de una lente delgada de }\boldsymbol{+35\ \text{mm}}\textbf{ de distancia focal. Determine la imagen del objeto con el trazado de los tres rayos principales. [0,8 puntos]}$










Ahora el objeto está justo al doble de la distancia focal, porque $7\ \text{cm}=2\cdot3{,}5\ \text{cm}$. Los tres rayos principales son:

i) El rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen.

ii) El rayo que pasa por el foco objeto, que tras la lente sale paralelo al eje.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.





Los tres rayos emergentes convergen de verdad, así que la imagen es real y se puede recoger en una pantalla. Se comprueba con la ecuación de Descartes:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{-70}=1{,}429\cdot10^{-2}\ \text{mm}^{-1}$

$s'=+70\ \text{mm}$

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{70}{-70}=-1$

La imagen es real, invertida y del mismo tamaño que el objeto, es decir, mide 3 cm, y se forma a 7 cm al otro lado de la lente. Es el caso particular del objeto situado en el doble de la focal, en el que objeto e imagen son simétricos respecto de la lente.