Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Una espira circular de 15 cm de radio está dentro de un campo magnético perpendicular al plano de la espira. La intensidad del campo en el intervalo de 0 a 2 s vale

$B(t) = 6t - 3t^2\ \text{mT}.$

Otra espira gira a velocidad angular $\omega$ dentro de un campo magnético uniforme y el flujo de campo magnético a través de la espira es

$\phi(t) = 30\cos(\omega\,t - 2{,}45\ \text{rad})\ \text{mWb}.$

a) Para la primera espira, determine la expresión de la fuerza electromotriz en función del tiempo e indique el nombre de la ley usada. [0,5 puntos]

b) Calcule en qué instante del intervalo $[0, 2\ \text{s}]$ la fuerza electromotriz anterior es nula, en qué instante es máxima y cuánto vale el valor máximo. [0,9 puntos]

c) Para la segunda espira, calcule la velocidad angular necesaria para que la fuerza electromotriz máxima sea de 0,3 V. [0,6 puntos]

Dato: $\text{fem} = -\dfrac{d\phi(t)}{dt}$.

$\textbf{a) Para la primera espira, determine la expresión de la fuerza electromotriz en función del tiempo e indique el nombre de la ley usada. [0,5 puntos]}$

La ley que se usa es la ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética: la fuerza electromotriz inducida en un circuito es la derivada del flujo magnético que lo atraviesa, cambiada de signo.

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}$

Como el campo es perpendicular al plano de la espira, el flujo es simplemente el producto del campo por la superficie, que es constante:

$\phi(t)=B(t)\,S,\qquad S=\pi R^2=\pi(0{,}15)^2=7{,}069\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

Por tanto:

$\varepsilon=-S\dfrac{dB}{dt}=-S\dfrac{d}{dt}\left[(6t-3t^2)\cdot10^{-3}\right]$

$\varepsilon=-7{,}069\cdot10^{-2}\cdot(6-6t)\cdot10^{-3}$

$\varepsilon(t)=4{,}24\cdot10^{-4}\,(t-1)\ \text{V}=0{,}424\,(t-1)\ \text{mV}$

$\textbf{b) Calcule en qué instante del intervalo }\boldsymbol{[0, 2\ \text{s}]}\textbf{ la fuerza electromotriz anterior es nula, en qué instante es máxima y cuánto vale el valor máximo. [0,9 puntos]}$

La fuerza electromotriz es una función lineal del tiempo, así que se anula en un solo punto:

$0{,}424\,(t-1)=0\Rightarrow t=1\ \text{s}$

En ese instante el campo magnético pasa por su máximo —la parábola $6t-3t^2$ tiene el vértice en $t=1\ \text{s}$— y por eso el flujo deja momentáneamente de variar.

Al ser lineal, el valor absoluto de la fuerza electromotriz es máximo en los extremos del intervalo:

$|\varepsilon(0)|=0{,}424\cdot|0-1|=0{,}424\ \text{mV}$

$|\varepsilon(2)|=0{,}424\cdot|2-1|=0{,}424\ \text{mV}$

Los dos valen lo mismo, de modo que la fuerza electromotriz alcanza su valor máximo en $t=0\ \text{s}$ y en $t=2\ \text{s}$, y vale $0{,}424\ \text{mV}$. En el primer instante es negativa y en el segundo positiva: el flujo primero crece y después decrece, y la corriente inducida se opone a cada cambio.

$\textbf{c) Para la segunda espira, calcule la velocidad angular necesaria para que la fuerza electromotriz máxima sea de 0,3 V. [0,6 puntos]}$

Se deriva el flujo de la segunda espira:

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-\dfrac{d}{dt}\left[30\cdot10^{-3}\cos(\omega\,t-2{,}45)\right]$

$\varepsilon=30\cdot10^{-3}\,\omega\,\sin(\omega\,t-2{,}45)$

El valor máximo se alcanza cuando el seno vale 1:

$\varepsilon_{\text{máx}}=30\cdot10^{-3}\,\omega$

Se despeja la velocidad angular:

$\omega=\dfrac{0{,}3}{30\cdot10^{-3}}=10\ \text{rad/s}$

La espira ha de girar a $10\ \text{rad/s}$, es decir, a algo menos de dos vueltas por segundo.