Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

Al lado de dos hilos rectos, infinitos y paralelos hay una espira circular. La figura muestra el sentido de las corrientes en los hilos rectos y la posición y el radio de la espira. Calcule:



a) La intensidad $I_1$ para que el módulo del campo magnético en el punto C a causa de las corrientes de los dos hilos rectos valga 15 μT. Describa o dibuje la dirección y el sentido de este campo magnético. [1 punto]

b) La intensidad $I_2$ que ha de pasar por la espira circular para que el campo magnético total en el centro C sea nulo cuando $I_1 = 1{,}6\ \text{A}$. Indique y justifique el sentido de esta corriente. [1 punto]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot} = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$.

$\textbf{a) La intensidad }\boldsymbol{I_1}\textbf{ para que el módulo del campo magnético en el punto C a causa de las corrientes de los dos hilos rectos valga 1}\boldsymbol{5\ \mu\text{T}}\textbf{. Describa o dibuje la dirección y el sentido de este campo magnético. [1 punto]}$










El punto C está a la derecha de los dos hilos, a 8 cm del primero y a 4 cm del segundo, según las cotas de la figura.

Con la regla de la mano derecha, el primer hilo, con la corriente hacia arriba, crea a su derecha un campo entrante en el papel; el segundo, con la corriente hacia abajo, crea a su derecha un campo saliente.





Los dos campos son opuestos, así que el módulo del total es su diferencia:

$B=\dfrac{\mu_0\,3I_1}{2\pi\cdot0{,}04}-\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\cdot0{,}08}$

$B=2\cdot10^{-7}\,I_1\left(\dfrac{3}{0{,}04}-\dfrac{1}{0{,}08}\right)=2\cdot10^{-7}\,I_1\,(75-12{,}5)$

$B=1{,}25\cdot10^{-5}\,I_1$

Se despeja la intensidad:

$I_1=\dfrac{15\cdot10^{-6}}{1{,}25\cdot10^{-5}}=1{,}2\ \text{A}$

La corriente del primer hilo ha de valer $1{,}2\ \text{A}$. El campo resultante es perpendicular al plano de la figura y saliente, porque gana el hilo de la derecha: lleva el triple de corriente y está a la mitad de distancia.

$\textbf{b) La intensidad }\boldsymbol{I_2}\textbf{ que ha de pasar por la espira circular para que el campo magnético total en el centro C sea nulo cuando }\boldsymbol{I_1 = 1{,}6\ \text{A}}\textbf{. Indique y justifique el sentido de esta corriente. [1 punto]}$

Con la nueva intensidad, el campo de los dos hilos rectos en C vale:

$B=1{,}25\cdot10^{-5}\cdot1{,}6=2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}=20\ \mu\text{T}$

y sigue siendo saliente del papel. Para que el campo total se anule, la espira ha de crear en su centro un campo del mismo módulo y entrante.

El campo en el centro de una espira es el que da el enunciado:

$B_{\odot}=\dfrac{\mu_0 I_2}{2R}$

Se despeja la intensidad, con $R=2{,}5\ \text{cm}=0{,}025\ \text{m}$:

$I_2=\dfrac{2R\,B}{\mu_0}=\dfrac{2\cdot0{,}025\cdot2{,}0\cdot10^{-5}}{4\pi\cdot10^{-7}}$

$I_2=0{,}80\ \text{A}$

Por la espira han de circular $0{,}80\ \text{A}$ en sentido horario. La justificación es la regla de la mano derecha: si los dedos siguen el sentido horario de la corriente, el pulgar apunta hacia dentro del papel, que es justo el sentido del campo necesario para cancelar el de los hilos.