Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2022

Las crestas consecutivas de una onda armónica en la superficie del agua de un canal están separadas 40 cm y se propagan a 5 cm/s. Un punto de la superficie se mueve 10 cm entre el punto más alto y el más bajo.

a) Escriba la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la izquierda y la ecuación particular de la onda en la superficie del agua descrita en el enunciado con la perturbación nula en el origen de coordenadas en $t = 0$. [0,75 puntos]

Calcule el tiempo mínimo que pasa desde que un punto se mueve entre:

b) El nivel más alto de la onda y el más bajo. [0,25 puntos]

c) El nivel cero de la onda y el nivel 1,5 cm. [1 punto]

Datos: $y(x,t) = A\sin(k\,x \pm \omega\,t + \delta)$; $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$; $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$; $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\omega}{k}$.

$\textbf{a) Escriba la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la izquierda y la ecuación particular de la onda en la superficie del agua descrita en el enunciado con la perturbación nula en el origen de coordenadas en }\boldsymbol{t = 0}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Una onda armónica que se propaga hacia la izquierda, es decir, hacia el sentido negativo del eje $X$, tiene por ecuación general:

$y(x,t)=A\sin(k\,x+\omega\,t+\delta)$

Con el signo positivo entre los dos términos, un punto de fase constante cumple $kx+\omega t=\text{cte}$, y por tanto se desplaza hacia las $x$ decrecientes conforme avanza el tiempo.

Ahora se identifican las magnitudes de la onda del enunciado. La distancia entre el punto más alto y el más bajo es el doble de la amplitud:

$2A=10\ \text{cm}\Rightarrow A=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$

La distancia entre crestas consecutivas es la longitud de onda:

$\lambda=40\ \text{cm}=0{,}40\ \text{m}\Rightarrow k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=15{,}71\ \text{rad/m}$

Y de la velocidad de propagación se obtiene el período:

$T=\dfrac{\lambda}{v}=\dfrac{40}{5}=8\ \text{s}\Rightarrow \omega=\dfrac{2\pi}{T}=0{,}785\ \text{rad/s}$

La condición de que la perturbación sea nula en el origen en $t=0$ da la fase inicial:

$y(0,0)=A\sin\delta=0\Rightarrow \delta=0\ \text{rad}$

La ecuación particular, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}05\sin(15{,}71\,x+0{,}785\,t)$

$\textbf{b) El nivel más alto de la onda y el más bajo. [0,25 puntos]}$

Cada punto de la superficie describe un movimiento armónico simple de período 8 s. Ir de un extremo al otro es media oscilación:

$t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{8}{2}=4\ \text{s}$

$\textbf{c) El nivel cero de la onda y el nivel 1,5 cm. [1 punto]}$

Se sigue el movimiento de un punto concreto. Tomando el origen de tiempos en el instante en que pasa por el nivel cero subiendo, su elongación es:

$y(t)=A\sin(\omega\,t)$

Se impone que valga 1,5 cm:

$1{,}5=5\sin(\omega\,t)\Rightarrow \sin(\omega\,t)=0{,}3$

$\omega\,t=\arcsin(0{,}3)=0{,}3047\ \text{rad}$

Se despeja el tiempo:

$t=\dfrac{0{,}3047}{0{,}785}=0{,}388\ \text{s}$

El tiempo mínimo es de $0{,}388\ \text{s}$, bastante menos de un cuarto de período (2 s), como corresponde a un nivel muy por debajo de la amplitud.