Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos partículas con cargas eléctricas de 6 nC y $-12\ \text{nC}$, respectivamente, están separadas 9 mm. Calcule:

a) El potencial eléctrico en el punto medio entre las cargas. [0,4 puntos]

b) El campo eléctrico en el punto entre las cargas donde el potencial es nulo. [0,8 puntos]

c) El trabajo que hace una fuerza externa para alejar la carga negativa de 5 mm a 8 mm de la carga positiva. Mencione la relación con el trabajo hecho por el campo. [0,8 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $V = K\,\dfrac{q}{r}$.

$\textbf{a) El potencial eléctrico en el punto medio entre las cargas. [0,4 puntos]}$

El punto medio está a 4,5 mm de cada carga. El potencial es escalar y se suma con el signo de cada una:

$V=K\left(\dfrac{q_1}{r_1}+\dfrac{q_2}{r_2}\right)=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{6\cdot10^{-9}}{4{,}5\cdot10^{-3}}+\dfrac{-12\cdot10^{-9}}{4{,}5\cdot10^{-3}}\right)$

$V=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-6\cdot10^{-9}}{4{,}5\cdot10^{-3}}=-1{,}2\cdot10^{4}\ \text{V}$

El potencial en el punto medio vale $-12\,000\ \text{V}$.

$\textbf{b) El campo eléctrico en el punto entre las cargas donde el potencial es nulo. [0,8 puntos]}$










Se llama $x$ a la distancia desde la carga positiva. El punto está entre las dos, así que dista $9-x$ milímetros de la negativa. Se impone que el potencial se anule:

$\dfrac{6}{x}+\dfrac{-12}{9-x}=0$

$6(9-x)=12\,x\Rightarrow 54=18\,x$

$x=3\ \text{mm}$





El punto de potencial nulo está a 3 mm de la carga positiva y a 6 mm de la negativa. Allí los dos campos apuntan en el mismo sentido —el de la carga positiva se aleja de ella y el de la negativa se dirige hacia ella—, de modo que se suman:

$E_+=K\dfrac{6\cdot10^{-9}}{(3\cdot10^{-3})^2}=6{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}$

$E_-=K\dfrac{12\cdot10^{-9}}{(6\cdot10^{-3})^2}=3{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}$

$E=6{,}0\cdot10^{6}+3{,}0\cdot10^{6}=9{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}$

El campo vale $9{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}$ y va de la carga positiva hacia la negativa. El ejercicio ilustra que un potencial nulo no implica un campo nulo: el potencial es un escalar y sus dos términos se cancelan, mientras que los campos son vectores del mismo sentido y se suman.

$\textbf{c) El trabajo que hace una fuerza externa para alejar la carga negativa de 5 mm a 8 mm de la carga positiva. Mencione la relación con el trabajo hecho por el campo. [0,8 puntos]}$

La energía potencial del par de cargas es:

$E_p=K\dfrac{q_1\,q_2}{r}$

En la posición inicial:

$E_{p,i}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}\cdot(-12\cdot10^{-9})}{5\cdot10^{-3}}=-1{,}296\cdot10^{-4}\ \text{J}$

Y en la final:

$E_{p,f}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}\cdot(-12\cdot10^{-9})}{8\cdot10^{-3}}=-8{,}10\cdot10^{-5}\ \text{J}$

Si el traslado se hace sin variar la energía cinética, el trabajo de la fuerza externa es igual al aumento de la energía potencial:

$W_{\text{externa}}=\Delta E_p=-8{,}10\cdot10^{-5}+1{,}296\cdot10^{-4}$

$W_{\text{externa}}=4{,}86\cdot10^{-5}\ \text{J}$

El trabajo de la fuerza externa es de $4{,}86\cdot10^{-5}\ \text{J}$, positivo porque hay que vencer la atracción entre cargas de signo contrario.

En cuanto a la relación con el trabajo del campo: por ser el campo eléctrico conservativo, el trabajo de la fuerza eléctrica es la disminución de la energía potencial,

$W_{\text{campo}}=-\Delta E_p=-4{,}86\cdot10^{-5}\ \text{J}$

es decir, exactamente el opuesto del trabajo externo. Al no variar la energía cinética, los dos se compensan y su suma es nula.