Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Un asteroide de 790 kg se dirige en línea recta hacia el centro de un planeta sin atmósfera de $5{,}4\cdot10^{22}\ \text{kg}$ y 1700 km de radio. La velocidad del asteroide es de 6,5 km/s justo antes de impactar sobre la superficie del planeta. Calcule:

a) La energía mecánica total del asteroide en este momento. [0,5 puntos]

b) La velocidad del asteroide cuando estaba a 15 000 km del centro del planeta. [0,75 puntos]

c) La velocidad mínima que habría de haber adquirido una nave al parar los propulsores a 3000 km del centro del planeta para escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Justifique el cálculo. [0,75 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) La energía mecánica total del asteroide en este momento. [0,5 puntos]}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria. En el instante del impacto el asteroide está sobre la superficie, es decir, a una distancia del centro igual al radio del planeta:

$E=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{R}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $v=6{,}5\ \text{km/s}=6500\ \text{m/s}$ y $R=1700\ \text{km}=1{,}7\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$E_c=\dfrac12\cdot790\cdot6500^2=1{,}669\cdot10^{10}\ \text{J}$

$E_p=-\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}4\cdot10^{22}\cdot790}{1{,}7\cdot10^{6}}=-1{,}675\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E=1{,}669\cdot10^{10}-1{,}675\cdot10^{9}=1{,}50\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía mecánica total es de $1{,}50\cdot10^{10}\ \text{J}$. Es positiva, lo que indica que el asteroide no estaba ligado al planeta: venía de fuera del sistema, con energía de sobra para escapar de él.

$\textbf{b) La velocidad del asteroide cuando estaba a 15 000 km del centro del planeta. [0,75 puntos]}$

La fuerza gravitatoria es la única que actúa y es conservativa, así que la energía mecánica se conserva y vale lo mismo que en el apartado anterior:

$\dfrac12 m v'^2-G\dfrac{M\,m}{r}=E$

Se despeja la velocidad:

$v'=\sqrt{\dfrac{2}{m}\left(E+G\dfrac{M\,m}{r}\right)}$

Con $r=15\,000\ \text{km}=1{,}5\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$G\dfrac{M\,m}{r}=\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}4\cdot10^{22}\cdot790}{1{,}5\cdot10^{7}}=1{,}898\cdot10^{8}\ \text{J}$

$v'=\sqrt{\dfrac{2}{790}\left(1{,}50\cdot10^{10}+1{,}898\cdot10^{8}\right)}=\sqrt{3{,}849\cdot10^{7}}$

$v'=6{,}20\cdot10^{3}\ \text{m/s}=6{,}20\ \text{km/s}$

A 15 000 km del centro el asteroide se movía a $6{,}20\ \text{km/s}$. Ha ganado solo 300 m/s en la caída, porque a esa distancia el campo del planeta ya es débil.

$\textbf{c) La velocidad mínima que habría de haber adquirido una nave al parar los propulsores a 3000 km del centro del planeta para escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Justifique el cálculo. [0,75 puntos]}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con la velocidad mínima posible, que es cero. Como la energía mecánica se conserva, la condición es que sea nula en el punto de partida:

$\dfrac12 m v_{\text{esc}}^2-G\dfrac{M\,m}{r}=0$

Se simplifica la masa de la nave —la velocidad de escape no depende de ella— y se despeja:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{r}}$

Con $r=3000\ \text{km}=3\cdot10^{6}\ \text{m}$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}4\cdot10^{22}}{3\cdot10^{6}}}=\sqrt{2{,}403\cdot10^{6}}$

$v_{\text{esc}}=1{,}55\cdot10^{3}\ \text{m/s}=1{,}55\ \text{km/s}$

La nave necesitaría al menos $1{,}55\ \text{km/s}$ al apagar los propulsores. Obsérvese que la dirección no importa: la condición es energética, y la energía cinética solo depende del módulo de la velocidad.