Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2023

Una luz monocromática de 310 nm ilumina una placa de silicio. Calcule:

a) La energía de los fotones en eV. [0,3 puntos]

b) La energía en eV y la velocidad máxima en km/s de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. [1 punto]

c) La velocidad máxima de los electrones después de duplicar la intensidad máxima de la luz monocromática. [0,4 puntos]

d) La velocidad máxima de los electrones con la luz inicial después de cambiar la placa de silicio por una de sodio. [0,3 puntos]

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; trabajos de extracción: silicio 3,59 eV; sodio 2,28 eV.

$\textbf{a) La energía de los fotones en eV. [0,3 puntos]}$

La energía de un fotón depende solo de su frecuencia o, lo que es lo mismo, de su longitud de onda:

$E=h\,f=h\dfrac{c}{\lambda}$

$E=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{310\cdot10^{-9}}=6{,}41\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Se expresa en electronvoltios:

$E=\dfrac{6{,}41\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=4{,}01\ \text{eV}$

$\textbf{b) La energía en eV y la velocidad máxima en km/s de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. [1 punto]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética del electrón:

$E=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{máx}}$

El trabajo de extracción del silicio es $3{,}59\ \text{eV}$, menor que la energía del fotón, así que sí hay emisión:

$E_{c,\text{máx}}=4{,}01-3{,}59=0{,}42\ \text{eV}$

Para calcular la velocidad hay que pasar esa energía a julios:

$E_{c,\text{máx}}=0{,}418\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=6{,}68\cdot10^{-20}\ \text{J}$

Y se despeja de la expresión de la energía cinética:

$E_{c,\text{máx}}=\dfrac12 m_e v_{\text{máx}}^2\Rightarrow v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}}$

$v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}68\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=\sqrt{1{,}47\cdot10^{11}}$

$v_{\text{máx}}=3{,}83\cdot10^{5}\ \text{m/s}=383\ \text{km/s}$

$\textbf{c) La velocidad máxima de los electrones después de duplicar la intensidad máxima de la luz monocromática. [0,4 puntos]}$

La velocidad máxima no cambia: sigue siendo $383\ \text{km/s}$.

Duplicar la intensidad de una luz monocromática significa duplicar el número de fotones que llegan por segundo, pero no la energía de cada uno, que depende únicamente de la frecuencia. Como cada electrón absorbe un solo fotón, la energía cinética máxima —y por tanto la velocidad máxima— es la misma. Lo que sí se duplica es el número de electrones emitidos, es decir, la intensidad de la corriente fotoeléctrica.

Este resultado es precisamente uno de los hechos que la teoría ondulatoria clásica no podía explicar y que dio la razón a la hipótesis de los fotones de Einstein.

$\textbf{d) La velocidad máxima de los electrones con la luz inicial después de cambiar la placa de silicio por una de sodio. [0,3 puntos]}$

El trabajo de extracción del sodio es menor, $2{,}28\ \text{eV}$, así que sobra más energía para el electrón:

$E_{c,\text{máx}}=4{,}01-2{,}28=1{,}73\ \text{eV}=2{,}76\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}76\cdot10^{-19}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=7{,}79\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

$v_{\text{máx}}=779\ \text{km/s}$

Con la placa de sodio los electrones salen a $779\ \text{km/s}$, aproximadamente el doble de deprisa que con la de silicio, porque su energía cinética es unas cuatro veces mayor.