Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2023

a) La imagen de un objeto de 3 mm de altura, con el pie a 200 mm de una lente delgada, es virtual y tiene 9 mm de altura. Calcule la distancia focal en milímetros de la lente y escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,25 puntos]

b) Se quiere construir un telescopio de Galileo con una lente de $+150\ \text{mm}$ de distancia focal. ¿Qué otra lente se ha de usar para que el telescopio tenga 3 aumentos? ¿Cuál de las dos lentes será el ocular? ¿Qué separación habrá entre las lentes en el telescopio cuando se miren objetos lejanos? [0,75 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) La imagen de un objeto de 3 mm de altura, con el pie a 200 mm de una lente delgada, es virtual y tiene 9 mm de altura. Calcule la distancia focal en milímetros de la lente y escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,25 puntos]}$










Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, el objeto queda a la izquierda de la lente y su distancia es negativa:

$s=-200\ \text{mm},\qquad y=3\ \text{mm}$

La imagen es tres veces mayor que el objeto. Con un objeto real, una lente divergente da siempre una imagen virtual y más pequeña, así que la lente ha de ser convergente y la imagen, virtual y derecha:

$M_T=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{9}{3}=+3$





De la expresión del aumento lateral se obtiene la distancia imagen:

$M_T=\dfrac{s'}{s}\Rightarrow s'=M_T\,s=3\cdot(-200)=-600\ \text{mm}$

El signo negativo confirma que la imagen se forma del mismo lado que el objeto: es virtual, como decía el enunciado.

Se aplica ahora la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{-600}-\dfrac{1}{-200}=-1{,}667\cdot10^{-3}+5{,}000\cdot10^{-3}$

$\dfrac{1}{f'}=3{,}333\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow f'=+300\ \text{mm}$

La distancia focal es de $+300\ \text{mm}$ y la lente es convergente. Obsérvese que el objeto está dentro de la distancia focal ($200\ \text{mm}<300\ \text{mm}$), que es la condición para que una lente convergente actúe como lupa.

$\textbf{b) Se quiere construir un telescopio de Galileo con una lente de }\boldsymbol{+150\ \text{mm}}\textbf{ de distancia focal. ¿Qué otra lente se ha de usar para que el telescopio tenga 3 aumentos? ¿Cuál de las dos lentes será el ocular? ¿Qué separación habrá entre las lentes en el telescopio cuando se miren objetos lejanos? [0,75 puntos]}$

El telescopio de Galileo se caracteriza por llevar un objetivo convergente y un ocular divergente. Por tanto, la lente de $+150\ \text{mm}$ ha de ser el objetivo, y la otra, la que hay que elegir, será el ocular y ha de ser divergente.

El aumento angular de un telescopio es el cociente de las distancias focales:

$|M|=\left|\dfrac{f'_{\text{obj}}}{f'_{\text{oc}}}\right|=3$

Se despeja la focal del ocular:

$|f'_{\text{oc}}|=\dfrac{150}{3}=50\ \text{mm}\Rightarrow f'_{\text{oc}}=-50\ \text{mm}$

Hace falta una lente divergente de $-50\ \text{mm}$ de distancia focal, y esa lente es el ocular.

Cuando se miran objetos lejanos, el objetivo forma la imagen en su plano focal, y el ocular ha de tener esa imagen en su propio foco objeto para que la luz salga en haces paralelos y el ojo no tenga que acomodar. La separación entre las lentes es entonces la suma algebraica de las dos focales:

$d=f'_{\text{obj}}+f'_{\text{oc}}=150+(-50)=100\ \text{mm}$

Las dos lentes han de estar separadas 100 mm. Ese tubo más corto que la suma de las focales es la ventaja práctica del telescopio de Galileo frente al de Kepler, que necesitaría 200 mm para el mismo aumento.