Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Con un electroimán se genera un campo magnético uniforme que cambia con el tiempo y es perpendicular al plano de una espira circular de 20 cm de diámetro. La intensidad del campo está dada por

$B(t) = 50\cos(\omega\,t - 0{,}2\ \text{rad})\ \text{mT}.$

a) Calcule la velocidad angular necesaria para que la fuerza electromotriz máxima en la espira sea de 0,3 V. [0,75 puntos]

b) Si la velocidad angular $\omega$ es de 4,7 rad/s, determine cuál es el primer instante después de $t = 0$ en que el flujo es nulo y el primero en que la fuerza electromotriz es nula. [1,25 puntos]

Dato: $\text{fem} = -\dfrac{d\phi(t)}{dt}$.

$\textbf{a) Calcule la velocidad angular necesaria para que la fuerza electromotriz máxima en la espira sea de 0,3 V. [0,75 puntos]}$

El campo es perpendicular al plano de la espira, así que el flujo es máximo y vale simplemente el producto del campo por la superficie:

$\Phi(t)=B(t)\,S$

La superficie de la espira, cuyo radio es la mitad del diámetro, es:

$S=\pi R^2=\pi(0{,}10)^2=3{,}142\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

Por la ley de Faraday-Lenz:

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-S\dfrac{dB}{dt}$

Se deriva el campo del enunciado:

$\dfrac{dB}{dt}=-50\cdot10^{-3}\,\omega\sin(\omega\,t-0{,}2)$

$\varepsilon=S\cdot50\cdot10^{-3}\,\omega\sin(\omega\,t-0{,}2)$

La fuerza electromotriz es máxima cuando el seno vale 1:

$\varepsilon_{\text{máx}}=S\,B_0\,\omega$

Se despeja la velocidad angular:

$\omega=\dfrac{\varepsilon_{\text{máx}}}{S\,B_0}=\dfrac{0{,}3}{3{,}142\cdot10^{-2}\cdot50\cdot10^{-3}}$

$\omega=191\ \text{rad/s}$

$\textbf{b) Si la velocidad angular }\boldsymbol{\omega}\textbf{ es de 4,7 rad/s, determine cuál es el primer instante después de }\boldsymbol{t = 0}\textbf{ en que el flujo es nulo y el primero en que la fuerza electromotriz es nula. [1,25 puntos]}$

El flujo se anula cuando lo hace el coseno:

$\Phi(t)=B_0\,S\cos(4{,}7\,t-0{,}2)=0\Rightarrow 4{,}7\,t-0{,}2=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$

Se despeja el tiempo:

$t=\dfrac{\frac{\pi}{2}+0{,}2+n\pi}{4{,}7}$

Para $n=0$:

$t=\dfrac{1{,}5708+0{,}2}{4{,}7}=0{,}377\ \text{s}$

Con $n=-1$ el tiempo saldría negativo, así que el primer instante en que el flujo se anula es $t=0{,}377\ \text{s}$.

La fuerza electromotriz es proporcional al seno, de modo que se anula cuando el seno vale cero:

$\sin(4{,}7\,t-0{,}2)=0\Rightarrow 4{,}7\,t-0{,}2=n\pi$

$t=\dfrac{0{,}2+n\pi}{4{,}7}$

Para $n=0$:

$t=\dfrac{0{,}2}{4{,}7}=0{,}0426\ \text{s}$

La fuerza electromotriz se anula por primera vez en $t=0{,}0426\ \text{s}$, mucho antes que el flujo. Es lo esperable: la fem es la derivada del flujo cambiada de signo, así que se anula justo cuando el flujo pasa por un máximo, y el flujo se anula cuando la fem es máxima.