Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

La corriente eléctrica de intensidad $I_1$ en un hilo que forma dos espiras circulares concéntricas como las de la figura crea un campo magnético $\mathbf{B}_1$ en el centro de las espiras de 151 μT dirigido hacia dentro del plano. Las partes rectas del circuito tienen un efecto despreciable sobre el valor del campo. Determine:



a) El sentido de la corriente en cada espira y el valor de $I_1$. [1,4 puntos]

b) El sentido y el valor de la corriente $I_2$, en un hilo recto infinito situado en el mismo plano de las espiras y a la distancia mostrada en la figura, para anular el campo $\mathbf{B}_1$. [0,6 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot} = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

$\textbf{a) El sentido de la corriente en cada espira y el valor de }\boldsymbol{I_1}\textbf{. [1,4 puntos]}$










Las dos espiras están conectadas en serie por los tramos rectos, así que las recorre la misma corriente. Siguiendo el hilo desde un terminal hasta el otro se ve que la corriente da la vuelta a una espira en un sentido y a la otra en el contrario, de modo que los dos campos en el centro son opuestos y el total es su diferencia.

Como el campo de una espira es inversamente proporcional a su radio, manda la interior.





El enunciado dice que $\vec B_1$ es entrante en el plano, así que, por la regla de la mano derecha, la corriente recorre la espira interior en sentido horario y la exterior en sentido antihorario.

Los radios son la mitad de los diámetros de la figura:

$R_{\text{int}}=1\ \text{cm}=0{,}01\ \text{m},\qquad R_{\text{ext}}=2{,}5\ \text{cm}=0{,}025\ \text{m}$

El módulo del campo total es la diferencia de los dos:

$B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{2R_{\text{int}}}-\dfrac{\mu_0 I_1}{2R_{\text{ext}}}=\dfrac{\mu_0 I_1}{2}\left(\dfrac{1}{R_{\text{int}}}-\dfrac{1}{R_{\text{ext}}}\right)$

Se evalúa el paréntesis:

$\dfrac{1}{0{,}01}-\dfrac{1}{0{,}025}=100-40=60\ \text{m}^{-1}$

Y se despeja la intensidad:

$I_1=\dfrac{2B_1}{\mu_0\cdot60}=\dfrac{2\cdot151\cdot10^{-6}}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot60}$

$I_1=4{,}01\ \text{A}$

Por el hilo circulan $4{,}01\ \text{A}$. Con ese valor la espira interior crea $252\ \mu\text{T}$ y la exterior $101\ \mu\text{T}$ en sentido contrario, cuya diferencia son los $151\ \mu\text{T}$ del enunciado.

$\textbf{b) El sentido y el valor de la corriente }\boldsymbol{I_2}\textbf{, en un hilo recto infinito situado en el mismo plano de las espiras y a la distancia mostrada en la figura, para anular el campo }\boldsymbol{\vec B_1}\textbf{. [0,6 puntos]}$

El hilo ha de crear en el centro de las espiras un campo del mismo módulo que $\vec B_1$ y de sentido contrario, es decir, $151\ \mu\text{T}$ saliente del papel.

Según la figura, el hilo está 1 cm por encima de la espira exterior, así que su distancia al centro es:

$r=2{,}5+1=3{,}5\ \text{cm}=0{,}035\ \text{m}$

Se despeja la intensidad de la expresión del campo de un hilo indefinido:

$I_2=\dfrac{2\pi r\,B}{\mu_0}=\dfrac{0{,}035\cdot151\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-7}}$

$I_2=26{,}4\ \text{A}$

Hace falta una corriente de $26{,}4\ \text{A}$. El centro de las espiras queda por debajo del hilo, y para que allí el campo sea saliente la regla de la mano derecha exige que la corriente vaya hacia la izquierda.