Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2023

La intensidad de un sonido con un frente de onda esférico es de 86,0 dB a 20 m de la fuente. Calcule:

a) Los decibelios que se miden a 50 m de la fuente. [0,6 puntos]

b) La distancia de la fuente a la que se miden 83,0 dB. [0,6 puntos]

c) El aumento en decibelios de la intensidad del sonido cuando la distancia a la fuente se divide por cuatro desde cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]

Datos: $I(\text{dB}) = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}\ \text{W m}^{-2}}$; $I_1\,4\pi r_1^2 = I_2\,4\pi r_2^2$.

$\textbf{a) Los decibelios que se miden a 50 m de la fuente. [0,6 puntos]}$










El frente de onda es esférico y no hay absorción, así que toda la potencia que emite la fuente atraviesa cualquier esfera centrada en ella. La intensidad va, por tanto, con el inverso del cuadrado de la distancia:

$I_1\,4\pi r_1^2=I_2\,4\pi r_2^2\Rightarrow \dfrac{I_2}{I_1}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$





Restando las dos expresiones del nivel de intensidad sonora se pasa directamente al cociente de intensidades:

$\beta_2-\beta_1=10\log\dfrac{I_2}{I_1}=10\log\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2=20\log\dfrac{r_1}{r_2}$

$\beta_2-\beta_1=20\log\dfrac{20}{50}=20\cdot(-0{,}398)=-7{,}96\ \text{dB}$

$\beta_2=86{,}0-7{,}96=78{,}0\ \text{dB}$

A 50 m de la fuente se miden $78{,}0\ \text{dB}$.

$\textbf{b) La distancia de la fuente a la que se miden 83,0 dB. [0,6 puntos]}$

Se plantea la misma relación, ahora con la caída de 3,0 dB:

$83{,}0-86{,}0=20\log\dfrac{20}{r}$

$\log\dfrac{20}{r}=\dfrac{-3{,}0}{20}=-0{,}15$

$\dfrac{20}{r}=10^{-0{,}15}=0{,}708$

$r=\dfrac{20}{0{,}708}=28{,}3\ \text{m}$

Los $83{,}0\ \text{dB}$ se miden a $28{,}3\ \text{m}$ de la fuente.

$\textbf{c) El aumento en decibelios de la intensidad del sonido cuando la distancia a la fuente se divide por cuatro desde cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]}$

Se repite el razonamiento con $r_2=r_1/4$, sin dar ningún valor concreto a $r_1$:

$\Delta\beta=20\log\dfrac{r_1}{r_2}=20\log\dfrac{r_1}{r_1/4}=20\log 4$

$\Delta\beta=20\cdot0{,}602=12{,}0\ \text{dB}$

El nivel de intensidad sonora aumenta $12{,}0\ \text{dB}$ siempre que la distancia se divida por cuatro, sea cual sea la distancia de partida. La razón es que el nivel depende del logaritmo del cociente de intensidades, y ese cociente —dieciséis veces más intensidad— solo depende de la razón de distancias, no de sus valores.