Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Dos partículas con cargas eléctricas de $-4{,}5\ \text{nC}$ y 3 nC están separadas 9 mm. Calcule:



a) El potencial eléctrico en el punto A que está entre las partículas, a 3 mm de la partícula de carga negativa. [0,4 puntos]

b) El campo eléctrico en el punto B de la línea recta que pasa por las cargas, a la derecha de la carga positiva, donde el potencial es nulo. [0,8 puntos]

c) El trabajo que hace una fuerza externa para alejar la carga negativa de 9 mm a 18 mm de la carga positiva. [0,8 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $V = K\,\dfrac{q}{r}$.

$\textbf{a) El potencial eléctrico en el punto A que está entre las partículas, a 3 mm de la partícula de carga negativa. [0,4 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y el de un conjunto de cargas es la suma algebraica de los potenciales de cada una, con su signo:

$V=K\sum_i\dfrac{q_i}{r_i}$

El punto A está a 3 mm de la carga negativa y, por tanto, a $9-3=6\ \text{mm}$ de la positiva:

$V(\text{A})=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-4{,}5\cdot10^{-9}}{3\cdot10^{-3}}+\dfrac{3\cdot10^{-9}}{6\cdot10^{-3}}\right)$

$V(\text{A})=9\cdot10^{9}\,(-1{,}5\cdot10^{-6}+0{,}5\cdot10^{-6})$

$V(\text{A})=-9000\ \text{V}$

El potencial en A vale $-9000\ \text{V}$.

$\textbf{b) El campo eléctrico en el punto B de la línea recta que pasa por las cargas, a la derecha de la carga positiva, donde el potencial es nulo. [0,8 puntos]}$










Se llama $x$ a la distancia de B a la carga positiva. Como B está a su derecha, la distancia a la carga negativa es $9+x$ milímetros.

Se impone que el potencial se anule:

$K\left(\dfrac{-4{,}5}{9+x}+\dfrac{3}{x}\right)=0$





Se opera la ecuación:

$\dfrac{3}{x}=\dfrac{4{,}5}{9+x}\Rightarrow 3(9+x)=4{,}5\,x$

$27=1{,}5\,x\Rightarrow x=18\ \text{mm}$

El punto B está a 18 mm de la carga positiva y a 27 mm de la negativa. Ahora se calcula el campo, que es un vector y no se anula allí.

El campo de la carga positiva se aleja de ella, es decir, hacia la derecha:

$E_+=K\dfrac{3\cdot10^{-9}}{(0{,}018)^2}=8{,}33\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

El de la negativa apunta hacia ella, es decir, hacia la izquierda:

$E_-=K\dfrac{4{,}5\cdot10^{-9}}{(0{,}027)^2}=5{,}56\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

Los dos son opuestos, de modo que el campo total es su diferencia:

$E_B=8{,}33\cdot10^{4}-5{,}56\cdot10^{4}=2{,}78\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

El campo en B vale $2{,}78\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ y apunta hacia la derecha, alejándose de las dos cargas. Este ejercicio ilustra que potencial nulo no significa campo nulo: el potencial se anula porque los dos términos se cancelan al sumarse como escalares, mientras que los campos, al ser vectores de módulos distintos, no llegan a cancelarse.

$\textbf{c) El trabajo que hace una fuerza externa para alejar la carga negativa de 9 mm a 18 mm de la carga positiva. [0,8 puntos]}$

La energía potencial de un par de cargas puntuales es:

$E_p=K\dfrac{q_1\,q_2}{r}$

En la posición inicial, con las cargas separadas 9 mm:

$E_{p,i}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(-4{,}5\cdot10^{-9})(3\cdot10^{-9})}{9\cdot10^{-3}}=-1{,}35\cdot10^{-5}\ \text{J}$

Y en la final, al doble de distancia:

$E_{p,f}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(-4{,}5\cdot10^{-9})(3\cdot10^{-9})}{18\cdot10^{-3}}=-6{,}75\cdot10^{-6}\ \text{J}$

Si el traslado se hace sin variar la energía cinética, el trabajo de la fuerza externa es igual al aumento de la energía potencial:

$W_{\text{externa}}=\Delta E_p=E_{p,f}-E_{p,i}=-6{,}75\cdot10^{-6}+1{,}35\cdot10^{-5}$

$W_{\text{externa}}=6{,}75\cdot10^{-6}\ \text{J}$

La fuerza externa ha de realizar un trabajo de $6{,}75\ \mu\text{J}$. Es positivo porque las cargas son de signo contrario y se atraen: hay que tirar de ellas para separarlas.