Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En enero de 2022 se descubrió el asteroide 2022 AP7, que tiene parte de la órbita cerca de la órbita terrestre. En la figura se comparan los tamaños de las órbitas del asteroide, Marte y la Tierra. El semieje mayor de la órbita terrestre mide 1 ua aproximadamente, y el del asteroide, 2,924 ua.



a) Calcule el período orbital en años del asteroide aplicando una ley de Kepler. [0,75 puntos]

b) El afelio de la órbita del asteroide se encuentra a 5,015 ua, y el perihelio, a 0,833 ua. Calcule el cociente entre la energía potencial gravitatoria en el perihelio y la energía potencial en el afelio. [0,5 puntos]

c) Si el asteroide perdiese toda la velocidad orbital en el afelio y cayese en línea recta hacia el Sol, calcule la velocidad del asteroide cuando se encontrase a 1 ua del Sol. [0,75 puntos]

Datos: masa del Sol $\approx 2\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $1\ \text{ua} = 149\,597\,871\ \text{km}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Calcule el período orbital en años del asteroide aplicando una ley de Kepler. [0,75 puntos]}$

Se aplica la tercera ley de Kepler tomando la Tierra como referencia, ya que los dos cuerpos orbitan alrededor del Sol:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{T_T^2}{a_T^3}$

La ventaja de trabajar en años y unidades astronómicas es que para la Tierra $T_T=1\ \text{a}$ y $a_T=1\ \text{ua}$, de modo que la constante vale 1 y la ley se reduce a:

$T^2=a^3\quad(T\ \text{en años},\ a\ \text{en ua})$

Se sustituye el semieje mayor del asteroide:

$T=a^{3/2}=2{,}924^{3/2}=5{,}00\ \text{a}$

El asteroide 2022 AP7 tarda 5,00 años en dar una vuelta al Sol.

$\textbf{b) El afelio de la órbita del asteroide se encuentra a 5,015 ua, y el perihelio, a 0,833 ua. Calcule el cociente entre la energía potencial gravitatoria en el perihelio y la energía potencial en el afelio. [0,5 puntos]}$

La energía potencial gravitatoria del asteroide a una distancia $r$ del Sol es:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}$

Al hacer el cociente entre las dos posiciones se simplifican todas las constantes y solo quedan las distancias, invertidas:

$\dfrac{E_p(\text{perihelio})}{E_p(\text{afelio})}=\dfrac{-G\frac{Mm}{r_p}}{-G\frac{Mm}{r_a}}=\dfrac{r_a}{r_p}$

$\dfrac{E_p(\text{perihelio})}{E_p(\text{afelio})}=\dfrac{5{,}015}{0{,}833}=6{,}02$

El cociente vale 6,02. Las dos energías son negativas, así que el resultado positivo mayor que uno significa que en el perihelio la energía potencial es seis veces más negativa: el asteroide está mucho más ligado al Sol cuando pasa cerca de él.

$\textbf{c) Si el asteroide perdiese toda la velocidad orbital en el afelio y cayese en línea recta hacia el Sol, calcule la velocidad del asteroide cuando se encontrase a 1 ua del Sol. [0,75 puntos]}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica se conserva durante la caída. El asteroide parte del reposo en el afelio:

$0-G\dfrac{M\,m}{r_a}=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{r}$

Se simplifica la masa del asteroide y se despeja la velocidad:

$v=\sqrt{2\,G\,M\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_a}\right)}$

Las distancias se pasan a metros:

$r=1\ \text{ua}=1{,}496\cdot10^{11}\ \text{m},\qquad r_a=5{,}015\ \text{ua}=7{,}502\cdot10^{11}\ \text{m}$

$v=\sqrt{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}\left(\dfrac{1}{1{,}496\cdot10^{11}}-\dfrac{1}{7{,}502\cdot10^{11}}\right)}$

$v=\sqrt{1{,}429\cdot10^{9}}=3{,}78\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Al cruzar la órbita terrestre el asteroide llevaría una velocidad de $37{,}8\ \text{km/s}$.