Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años han de pasar para que la actividad de la muestra se reduzca a una sexta parte de la actividad inicial. [0,75 puntos]

b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,25 puntos]

c) Una muestra de un objeto de madera da 8300 desintegraciones por día. La misma masa de madera actual da 497 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]

Datos: $T_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5730\ \text{a}$; $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$; $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

$\textbf{a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años han de pasar para que la actividad de la muestra se reduzca a una sexta parte de la actividad inicial. [0,75 puntos]}$

La actividad decae según la ley de desintegración radiactiva que da el enunciado:

$A(t)=A_0\,e^{-\lambda t}$

La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{5730}=1{,}2097\cdot10^{-4}\ \text{a}^{-1}$

Se impone que la actividad sea la sexta parte de la inicial:

$\dfrac{A_0}{6}=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow e^{-\lambda t}=\dfrac16$

Se toman logaritmos y se despeja el tiempo:

$\lambda\,t=\ln 6\Rightarrow t=\dfrac{\ln 6}{\lambda}=\dfrac{1{,}7918}{1{,}2097\cdot10^{-4}}$

$t=1{,}48\cdot10^{4}\ \text{a}$

Han de pasar unos $14\,800$ años. Es algo más de dos períodos y medio de semidesintegración, como cabía esperar, porque en dos períodos la actividad se reduciría solo a una cuarta parte.

$\textbf{b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,25 puntos]}$

El carbono 14 es un núclido con exceso de neutrones y se desintegra por emisión $\beta^-$: uno de sus neutrones se transforma en un protón, y se emiten un electrón y un antineutrino electrónico.

${}^{14}_{6}\text{C}\rightarrow{}^{14}_{7}\text{N}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad, de modo que el carbono 14 se convierte en nitrógeno 14, que es estable.

$\textbf{c) Una muestra de un objeto de madera da 8300 desintegraciones por día. La misma masa de madera actual da 497 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]}$

Mientras el árbol está vivo, su carbono 14 se renueva con el del ambiente y su actividad es la misma que la de la madera actual; al morir deja de reponerse y la actividad decae.

Las dos actividades han de expresarse en las mismas unidades. Se pasa la de la muestra antigua a desintegraciones por hora:

$A=\dfrac{8300}{24}=345{,}8\ \text{h}^{-1},\qquad A_0=497\ \text{h}^{-1}$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración:

$t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}=\dfrac{1}{1{,}2097\cdot10^{-4}}\ln\dfrac{497}{345{,}8}$

$t=\dfrac{0{,}3627}{1{,}2097\cdot10^{-4}}=3{,}00\cdot10^{3}\ \text{a}$

El método del carbono 14 da una antigüedad de unos 3000 años para el objeto de madera.