Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2023

En la superficie del agua de un canal recto hay una onda armónica. Un punto de la superficie se mueve 8 cm entre el punto más alto y el más bajo. Las crestas consecutivas en la superficie se propagan separadas 42 cm, a 7 cm/s hacia la izquierda.

a) Escriba la ecuación de la onda descrita en el enunciado de manera que la perturbación sea positiva y máxima en el origen de coordenadas en $t = 0$. [0,8 puntos]

Calcule el tiempo mínimo que pasa desde que un punto de la superficie se mueve entre:

b) El nivel más alto de la onda y el nivel cero. [0,2 puntos]

c) El nivel cero de la onda y el nivel $-2{,}5\ \text{cm}$. [1 punto]

Datos: $y(x,t) = A\sin(k\,x \pm \omega\,t + \delta)$; $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$; $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$; $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\omega}{k}$.

$\textbf{a) Escriba la ecuación de la onda descrita en el enunciado de manera que la perturbación sea positiva y máxima en el origen de coordenadas en }\boldsymbol{t = 0}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Se identifican primero las magnitudes de la onda a partir del enunciado.

La distancia entre el punto más alto y el más bajo es el doble de la amplitud:

$2A=8\ \text{cm}\Rightarrow A=4\ \text{cm}$

La distancia entre crestas consecutivas es la longitud de onda:

$\lambda=42\ \text{cm}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{42}=0{,}1496\ \text{cm}^{-1}=14{,}96\ \text{rad/m}$

Y de la velocidad de propagación se obtiene el período:

$T=\dfrac{\lambda}{v}=\dfrac{42}{7}=6\ \text{s}$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{6}=1{,}047\ \text{rad/s}$

La onda se propaga hacia la izquierda, es decir, hacia el sentido negativo del eje $X$, así que hay que tomar el signo positivo en la fase:

$y(x,t)=A\sin(k\,x+\omega\,t+\delta)$

La fase inicial se impone con la condición del enunciado: en $x=0$ y $t=0$ la perturbación ha de ser positiva y máxima, es decir, el seno ha de valer 1:

$\sin\delta=1\Rightarrow \delta=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

La ecuación de la onda, con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos, es:

$y(x,t)=0{,}04\sin\left(14{,}96\,x+1{,}047\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\textbf{b) El nivel más alto de la onda y el nivel cero. [0,2 puntos]}$

Un punto de la superficie describe un movimiento armónico simple de período 6 s. Ir desde un extremo hasta la posición de equilibrio es un cuarto de oscilación completa:

$t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{6}{4}=1{,}5\ \text{s}$

El tiempo mínimo entre el nivel más alto y el nivel cero es de $1{,}5\ \text{s}$.

$\textbf{c) El nivel cero de la onda y el nivel }\boldsymbol{-2{,}5\ \text{cm}}\textbf{. [1 punto]}$

Se estudia el movimiento de un punto concreto de la superficie. Tomando el origen de tiempos en el instante en que pasa por el nivel cero bajando, su elongación es:

$y(t)=-A\sin(\omega\,t)$

Se impone que valga $-2{,}5\ \text{cm}$:

$-2{,}5=-4\sin(\omega\,t)\Rightarrow \sin(\omega\,t)=\dfrac{2{,}5}{4}=0{,}625$

$\omega\,t=\arcsin(0{,}625)=0{,}675\ \text{rad}$

Se despeja el tiempo:

$t=\dfrac{0{,}675}{1{,}047}=0{,}645\ \text{s}$

El tiempo mínimo desde que el punto pasa por el nivel cero hasta que alcanza el nivel $-2{,}5\ \text{cm}$ es de $0{,}645\ \text{s}$. Es menos de un cuarto de período, como tenía que ser, porque $2{,}5\ \text{cm}$ está por debajo de la amplitud.