Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Una espira circular de 2 cm de radio está dentro de un campo magnético uniforme. Calcule:

a) La intensidad del campo magnético perpendicular al plano de la espira que da un flujo de 9 μWb a través de la espira (figura a). [0,5 puntos]

b) El flujo a través de la espira cuando el campo magnético sea de 12 mT y la dirección forme un ángulo de $20^\circ$ con el campo anterior (figura b). [0,5 puntos]

c) La fuerza electromotriz máxima inducida en la espira si el campo magnético deja de ser constante y el flujo a través de la espira es $\phi(t) = 5\,t^2\,(t-6)\ \text{mWb}$ entre $t = 0$ y $t = 6\ \text{s}$. [1 punto]



Dato: $\text{fem} = -\dfrac{d\phi(t)}{dt}$.

$\textbf{a) La intensidad del campo magnético perpendicular al plano de la espira que da un flujo de }\boldsymbol{9\ \mu\text{Wb}}\textbf{ a través de la espira (figura a). [0,5 puntos]}$

El flujo magnético a través de una superficie plana en un campo uniforme es:

$\Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\alpha$

donde $\alpha$ es el ángulo entre el campo y el vector superficie, que es perpendicular al plano de la espira. En la figura a el campo es perpendicular al plano, es decir, paralelo al vector superficie, y el flujo es máximo:

$\alpha=0^\circ\Rightarrow \Phi=B\,S$

La superficie de la espira vale:

$S=\pi R^2=\pi(0{,}02)^2=1{,}257\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$

Se despeja el campo:

$B=\dfrac{\Phi}{S}=\dfrac{9\cdot10^{-6}}{1{,}257\cdot10^{-3}}=7{,}16\cdot10^{-3}\ \text{T}=7{,}16\ \text{mT}$

$\textbf{b) El flujo a través de la espira cuando el campo magnético sea de 12 mT y la dirección forme un ángulo de }\boldsymbol{20^\circ}\textbf{ con el campo anterior (figura b). [0,5 puntos]}$

El campo anterior era perpendicular al plano de la espira, es decir, paralelo al vector superficie. Si el nuevo campo forma $20^\circ$ con aquel, forma también $20^\circ$ con el vector superficie:

$\Phi=B\,S\cos 20^\circ$

$\Phi=12\cdot10^{-3}\cdot1{,}257\cdot10^{-3}\cdot0{,}9397$

$\Phi=1{,}42\cdot10^{-5}\ \text{Wb}=14{,}2\ \mu\text{Wb}$

$\textbf{c) La fuerza electromotriz máxima inducida en la espira si el campo magnético deja de ser constante y el flujo a través de la espira es }\boldsymbol{\phi(t) = 5\,t^2\,(t-6)\ \text{mWb}}\textbf{ entre }\boldsymbol{t = 0}\textbf{ y }\boldsymbol{t = 6\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo. Se desarrolla primero el flujo:

$\phi(t)=5t^3-30t^2\ \text{(en mWb)}$

$\varepsilon=-\dfrac{d\phi}{dt}=-(15t^2-60t)=60t-15t^2\ \text{(en mV)}$

Para buscar el máximo de su valor absoluto en el intervalo $[0,6]$ se estudian los puntos críticos y los extremos del intervalo. Anulando la derivada:

$\dfrac{d\varepsilon}{dt}=60-30t=0\Rightarrow t=2\ \text{s}$

$\varepsilon(2)=60\cdot2-15\cdot2^2=60\ \text{mV}$

Y en los extremos del intervalo:

$\varepsilon(0)=0\ \text{mV}$

$\varepsilon(6)=60\cdot6-15\cdot6^2=360-540=-180\ \text{mV}$

El valor de mayor módulo es el del instante final, porque la parábola $60t-15t^2$ se anula en $t=4\ \text{s}$ y luego crece en valor absoluto hasta el final del intervalo.

$|\varepsilon|_{\text{máx}}=180\ \text{mV}\quad\text{en } t=6\ \text{s}$

La fuerza electromotriz máxima inducida es de $180\ \text{mV}$, y se alcanza en el instante $t=6\ \text{s}$. El signo negativo indica solamente que en ese tramo el flujo crece y la corriente inducida se opone a ese aumento.