Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Con relación al sistema de cargas puntuales de la figura:



a) Calcule el cociente del módulo del campo en el punto P a causa de la carga de la derecha dividido por el módulo del campo en el mismo punto a causa de la carga de la izquierda. [0,4 puntos]

b) Represente las fuerzas sobre un protón en el punto P a causa de cada carga y la suma gráfica de estas dos fuerzas. [0,4 puntos]

c) Calcule la fuerza total sobre el protón y su módulo. [0,8 puntos]

d) El potencial total en el punto P vale $-4050\ \text{V}$. Calcule el módulo del trabajo de una fuerza externa para llevar una carga de 1 μC de M a P en el campo eléctrico de las dos cargas. [0,4 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; carga del protón, $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule el cociente del módulo del campo en el punto P a causa de la carga de la derecha dividido por el módulo del campo en el mismo punto a causa de la carga de la izquierda. [0,4 puntos]}$

El punto P es el vértice superior derecho del rectángulo. Sus distancias a las dos cargas son:

$r_{\text{der}}=8\ \text{cm}=0{,}08\ \text{m}$

$r_{\text{izq}}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \text{cm}=0{,}10\ \text{m}$

Los módulos de los campos son:

$E_{\text{der}}=K\dfrac{|q_{\text{der}}|}{r_{\text{der}}^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{16\cdot10^{-9}}{0{,}08^2}=2{,}25\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$E_{\text{izq}}=K\dfrac{|q_{\text{izq}}|}{r_{\text{izq}}^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{25\cdot10^{-9}}{0{,}10^2}=2{,}25\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

Por tanto:

$\dfrac{E_{\text{der}}}{E_{\text{izq}}}=1$

Los dos campos tienen exactamente el mismo módulo en P: la carga de la izquierda es mayor, pero está justo lo bastante más lejos como para compensarlo.

$\textbf{b) Represente las fuerzas sobre un protón en el punto P a causa de cada carga y la suma gráfica de estas dos fuerzas. [0,4 puntos]}$










Las dos cargas son negativas y el protón es positivo, de modo que las dos fuerzas son atractivas: cada una apunta desde P hacia la carga correspondiente.

La fuerza de la carga de la derecha es vertical y hacia abajo, porque esa carga está justo debajo de P.

La de la izquierda va a lo largo de la diagonal del rectángulo, hacia abajo y hacia la izquierda.





Como los dos módulos son iguales, la resultante que se obtiene con la regla del paralelogramo cae exactamente sobre la bisectriz del ángulo que forman.

$\textbf{c) Calcule la fuerza total sobre el protón y su módulo. [0,8 puntos]}$

El módulo de cada fuerza es la carga del protón por el campo correspondiente, que en el apartado a) resultó ser el mismo:

$F_1=F_2=e\,E=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}25\cdot10^{4}=3{,}6\cdot10^{-15}\ \text{N}$

Se toma el eje $X$ horizontal hacia la derecha y el eje $Y$ vertical hacia arriba. La fuerza de la carga de la derecha es:

$\vec F_2=-3{,}6\cdot10^{-15}\,\vec\jmath\ \text{N}$

La de la izquierda lleva la dirección de la diagonal, cuyo vector unitario de P hacia esa carga es:

$\vec u=\dfrac{(0,0)-(6,8)}{10}=(-0{,}6\ ;\ -0{,}8)$

$\vec F_1=3{,}6\cdot10^{-15}(-0{,}6\,\vec\imath-0{,}8\,\vec\jmath)=-2{,}16\cdot10^{-15}\,\vec\imath-2{,}88\cdot10^{-15}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Por el principio de superposición:

$\vec F=-2{,}16\cdot10^{-15}\,\vec\imath-6{,}48\cdot10^{-15}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Y su módulo:

$F=\sqrt{(2{,}16\cdot10^{-15})^2+(6{,}48\cdot10^{-15})^2}=6{,}83\cdot10^{-15}\ \text{N}$

La fuerza sobre el protón vale $6{,}83\cdot10^{-15}\ \text{N}$ y apunta hacia el interior del rectángulo, hacia abajo y hacia la izquierda.

$\textbf{d) El potencial total en el punto P vale }\boldsymbol{-4050\ \text{V}}\textbf{. Calcule el módulo del trabajo de una fuerza externa para llevar una carga de }\boldsymbol{1\ \mu\text{C}}\textbf{ de M a P en el campo eléctrico de las dos cargas. [0,4 puntos]}$

El punto M es el centro del lado superior, así que equidista de las dos cargas:

$r_M=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}=8{,}544\ \text{cm}=8{,}544\cdot10^{-2}\ \text{m}$

El potencial es escalar y se suma con el signo de cada carga:

$V(\text{M})=K\dfrac{q_1+q_2}{r_M}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-25\cdot10^{-9}-16\cdot10^{-9}}{8{,}544\cdot10^{-2}}$

$V(\text{M})=-4319\ \text{V}$

Si la carga se traslada sin variar su energía cinética, el trabajo de la fuerza externa es igual al aumento de la energía potencial:

$W_{\text{externa}}=\Delta E_p=q\,[V(\text{P})-V(\text{M})]$

$W_{\text{externa}}=1\cdot10^{-6}\cdot[-4050-(-4319)]=1\cdot10^{-6}\cdot269$

$|W_{\text{externa}}|=2{,}69\cdot10^{-4}\ \text{J}$

El módulo del trabajo es $2{,}69\cdot10^{-4}\ \text{J}$.