Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un asteroide de $3{,}0\cdot10^{14}\ \text{kg}$ sigue una línea recta que pasa por el centro de un planeta de $6{,}4\cdot10^{23}\ \text{kg}$. El asteroide se mueve a 0,650 km/s cuando se encuentra a 170 000 km del planeta.

a) Calcule la energía mecánica total del asteroide. [0,5 puntos]

b) Si el asteroide se aleja del planeta, calcule la velocidad que habría de tener para escapar de la atracción gravitatoria del planeta y conteste explícitamente si una velocidad de 0,650 km/s sería suficiente para escapar. [0,75 puntos]

c) Si el asteroide se acerca al planeta, determine su velocidad cuando la distancia se haya reducido a la mitad. [0,75 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Calcule la energía mecánica total del asteroide. [0,5 puntos]}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria:

$E=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{r}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $v=0{,}650\ \text{km/s}=650\ \text{m/s}$ y $r=170\,000\ \text{km}=1{,}7\cdot10^{8}\ \text{m}$:

$E_c=\dfrac12\cdot3{,}0\cdot10^{14}\cdot650^2=6{,}34\cdot10^{19}\ \text{J}$

$E_p=-\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}\cdot3{,}0\cdot10^{14}}{1{,}7\cdot10^{8}}=-7{,}54\cdot10^{19}\ \text{J}$

$E=6{,}34\cdot10^{19}-7{,}54\cdot10^{19}=-1{,}20\cdot10^{19}\ \text{J}$

La energía mecánica es negativa, lo que significa que el asteroide está ligado al planeta.

$\textbf{b) Si el asteroide se aleja del planeta, calcule la velocidad que habría de tener para escapar de la atracción gravitatoria del planeta y conteste explícitamente si una velocidad de 0,650 km/s sería suficiente para escapar. [0,75 puntos]}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con una velocidad mínima de $0\ \text{m/s}$. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva y la condición es que valga cero:

$\dfrac12 m v_{\text{esc}}^2-G\dfrac{M\,m}{r}=0$

Se simplifica la masa del asteroide y se despeja:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{r}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}}{1{,}7\cdot10^{8}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{5{,}025\cdot10^{5}}=709\ \text{m/s}$

La velocidad de escape a esa distancia es de $709\ \text{m/s}$. Como el asteroide se mueve a 650 m/s, menos que ese valor, no sería suficiente para escapar: coherente con la energía mecánica negativa del apartado anterior. El asteroide se alejaría hasta una distancia máxima y volvería a caer hacia el planeta.

$\textbf{c) Si el asteroide se acerca al planeta, determine su velocidad cuando la distancia se haya reducido a la mitad. [0,75 puntos]}$

Se vuelve a aplicar la conservación de la energía mecánica entre las dos posiciones:

$\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{r}=\dfrac12 m v'^2-G\dfrac{M\,m}{r'}$

Se simplifica la masa del asteroide y se despeja la velocidad final:

$v'=\sqrt{v^2+2\,G\,M\left(\dfrac{1}{r'}-\dfrac{1}{r}\right)}$

La nueva distancia es la mitad, $r'=8{,}5\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$v'=\sqrt{650^2+2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot6{,}4\cdot10^{23}\left(\dfrac{1}{8{,}5\cdot10^{7}}-\dfrac{1}{1{,}7\cdot10^{8}}\right)}$

$v'=\sqrt{4{,}225\cdot10^{5}+5{,}025\cdot10^{5}}=\sqrt{9{,}250\cdot10^{5}}$

$v'=962\ \text{m/s}$

Al reducirse la distancia a la mitad, el asteroide se ha acelerado hasta $962\ \text{m/s}$.