Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

a) La masa de la Tierra es 55,5 veces la de Calisto, satélite natural de Júpiter. Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie del satélite. [0,5 puntos]

b) El semieje mayor de la órbita de Ganimedes, otro satélite de Júpiter, mide 1 070 400 km. El período orbital de este satélite es de 7,155 días. Calcule, usando una ley de Kepler, el semieje mayor de la órbita de Calisto, que tiene un período orbital de 400,6 horas. [0,75 puntos]

c) Otro de los satélites de Júpiter tiene el periastro a una distancia de $5{,}6\cdot10^{6}\ \text{km}$ del centro del planeta, y el apoastro, a $9{,}2\cdot10^{6}\ \text{km}$. Calcule su período orbital. [0,75 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}9736\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) La masa de la Tierra es 55,5 veces la de Calisto, satélite natural de Júpiter. Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie del satélite. [0,5 puntos]}$

La masa de Calisto se obtiene del dato del enunciado:

$M_C=\dfrac{M_T}{55{,}5}=\dfrac{5{,}9736\cdot10^{24}}{55{,}5}=1{,}076\cdot10^{23}\ \text{kg}$

Y su radio es la mitad del diámetro que da la figura:

$R_C=\dfrac{4820}{2}=2410\ \text{km}=2{,}41\cdot10^{6}\ \text{m}$

La aceleración de la gravedad en la superficie de un astro esférico es el módulo del campo gravitatorio a esa distancia:

$g=G\dfrac{M_C}{R_C^2}=\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot1{,}076\cdot10^{23}}{(2{,}41\cdot10^{6})^2}$

$g=\dfrac{7{,}183\cdot10^{12}}{5{,}808\cdot10^{12}}=1{,}24\ \text{m/s}^2$

En la superficie de Calisto la gravedad vale $1{,}24\ \text{m/s}^2$, algo más de la octava parte de la terrestre.

$\textbf{b) El semieje mayor de la órbita de Ganimedes, otro satélite de Júpiter, mide 1 070 400 km. El período orbital de este satélite es de 7,155 días. Calcule, usando una ley de Kepler, el semieje mayor de la órbita de Calisto, que tiene un período orbital de 400,6 horas. [0,75 puntos]}$

Se aplica la tercera ley de Kepler a los dos satélites de Júpiter, que comparten el mismo valor de $T^2/a^3$:

$\dfrac{T_C^2}{a_C^3}=\dfrac{T_G^2}{a_G^3}$

Los dos períodos han de estar en las mismas unidades. Se pasa el de Calisto a días:

$T_C=\dfrac{400{,}6}{24}=16{,}69\ \text{días}$

Se despeja el semieje mayor de Calisto:

$a_C=a_G\left(\dfrac{T_C}{T_G}\right)^{2/3}=1\,070\,400\left(\dfrac{16{,}69}{7{,}155}\right)^{2/3}$

$a_C=1\,070\,400\cdot1{,}759=1{,}88\cdot10^{6}\ \text{km}$

El semieje mayor de la órbita de Calisto mide $1{,}88\cdot10^{6}\ \text{km}$.

$\textbf{c) Otro de los satélites de Júpiter tiene el periastro a una distancia de }\boldsymbol{5{,}6\cdot10^{6}\ \text{km}}\textbf{ del centro del planeta, y el apoastro, a }\boldsymbol{9{,}2\cdot10^{6}\ \text{km}}\textbf{. Calcule su período orbital. [0,75 puntos]}$

El periastro y el apoastro son los extremos del eje mayor de la elipse medidos desde el foco, así que su suma es el eje mayor completo:

$a=\dfrac{r_p+r_a}{2}=\dfrac{5{,}6\cdot10^{6}+9{,}2\cdot10^{6}}{2}=7{,}4\cdot10^{6}\ \text{km}$

Se vuelve a aplicar la tercera ley de Kepler, ahora tomando Ganimedes como referencia:

$T=T_G\left(\dfrac{a}{a_G}\right)^{3/2}=7{,}155\left(\dfrac{7{,}4\cdot10^{6}}{1{,}0704\cdot10^{6}}\right)^{3/2}$

$T=7{,}155\cdot18{,}18=130\ \text{días}$

El período orbital de ese satélite es de unos 130 días, es decir, algo más de cuatro meses.