Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

La velocidad máxima de los electrones emitidos por una placa de un material puro es de 467 km/s cuando se ilumina con luz monocromática de 295 nm.

a) Calcule el trabajo de extracción (o función de trabajo) en eV del material de la placa. [0,8 puntos]

b) Calcule la frecuencia umbral de este elemento y escriba si la emisión de electrones por efecto fotoeléctrico se producirá con luz monocromática de frecuencias más altas o más bajas que la umbral. [0,6 puntos]

c) Determine si habrá emisión fotoeléctrica con luz de cada una de estas longitudes de onda: 330 nm, 340 nm, 350 nm y 360 nm. [0,6 puntos]

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule el trabajo de extracción (o función de trabajo) en eV del material de la placa. [0,8 puntos]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón arrancado:

$E_{\text{fotón}}=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{máx}}$

La energía del fotón vale:

$E_{\text{fotón}}=h\dfrac{c}{\lambda}=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{295\cdot10^{-9}}=6{,}738\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La energía cinética máxima se obtiene de la velocidad máxima medida, $v_{\text{máx}}=467\ \text{km/s}=4{,}67\cdot10^{5}\ \text{m/s}$:

$E_{c,\text{máx}}=\dfrac12 m_e v_{\text{máx}}^2=\dfrac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(4{,}67\cdot10^{5})^2=9{,}923\cdot10^{-20}\ \text{J}$

Por tanto:

$W_{\text{ext}}=6{,}738\cdot10^{-19}-9{,}923\cdot10^{-20}=5{,}746\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y en electronvoltios:

$W_{\text{ext}}=\dfrac{5{,}746\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=3{,}59\ \text{eV}$

$\textbf{b) Calcule la frecuencia umbral de este elemento y escriba si la emisión de electrones por efecto fotoeléctrico se producirá con luz monocromática de frecuencias más altas o más bajas que la umbral. [0,6 puntos]}$

La frecuencia umbral es aquella cuyo fotón tiene justo la energía necesaria para arrancar el electrón, sin sobrarle nada para energía cinética:

$W_{\text{ext}}=h\,f_0\Rightarrow f_0=\dfrac{W_{\text{ext}}}{h}$

$f_0=\dfrac{5{,}746\cdot10^{-19}}{6{,}626\cdot10^{-34}}=8{,}67\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

La emisión se produce con frecuencias más altas que la umbral. La razón es que la energía de un fotón, $E=h\,f$, crece con la frecuencia: por debajo de $f_0$ ningún fotón tiene energía suficiente para arrancar un electrón, y aumentar la intensidad no sirve de nada, porque cada electrón absorbe un solo fotón.

$\textbf{c) Determine si habrá emisión fotoeléctrica con luz de cada una de estas longitudes de onda: 330 nm, 340 nm, 350 nm y 360 nm. [0,6 puntos]}$

Conviene traducir la frecuencia umbral a longitud de onda umbral:

$\lambda_0=\dfrac{c}{f_0}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{8{,}67\cdot10^{14}}=3{,}46\cdot10^{-7}\ \text{m}=346\ \text{nm}$

La condición de frecuencia alta se traduce en longitud de onda corta: habrá emisión si $\lambda<\lambda_0$.

- $\lambda=330\ \text{nm}<346\ \text{nm}$: sí hay emisión.

- $\lambda=340\ \text{nm}<346\ \text{nm}$: sí hay emisión.

- $\lambda=350\ \text{nm}>346\ \text{nm}$: no hay emisión.

- $\lambda=360\ \text{nm}>346\ \text{nm}$: no hay emisión.

Solo las dos longitudes de onda más cortas, 330 nm y 340 nm, arrancan electrones de esta placa.