Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2024

Las ecuaciones de unas ondas mecánicas transversales con $y$ expresado en cm, $x$ en metros y $t$ en segundos, son:

$y_1(x,t) = 8\sin(4{,}2\,x - 1{,}8\,t + \pi/4),$

$y_2(x,t) = 16\cos(0{,}7\,x - \omega_2\,t).$

Calcule:

a) La longitud de onda y el período de la primera onda. [0,4 puntos]

b) El valor de $\omega_2$ para que las dos ondas se propaguen a la misma velocidad. [0,5 puntos]

c) El valor de $\omega_2$ para que la velocidad máxima de oscilación vertical de las partículas en las dos ondas sea la misma. [0,5 puntos]

d) Las tres primeras posiciones con $x$ positiva donde la perturbación de la primera onda es máxima y positiva en $t = 0$. [0,6 puntos]

Datos: $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$; $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$; $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\omega}{k}$.

$\textbf{a) La longitud de onda y el período de la primera onda. [0,4 puntos]}$

Comparando la ecuación de la primera onda con la forma general

$y(x,t)=A\sin(k\,x-\omega\,t+\delta)$

se identifican el número de onda y la pulsación:

$k_1=4{,}2\ \text{m}^{-1},\qquad \omega_1=1{,}8\ \text{rad/s}$

La longitud de onda se obtiene del número de onda:

$\lambda_1=\dfrac{2\pi}{k_1}=\dfrac{2\pi}{4{,}2}=1{,}50\ \text{m}$

Y el período, de la pulsación:

$T_1=\dfrac{2\pi}{\omega_1}=\dfrac{2\pi}{1{,}8}=3{,}49\ \text{s}$

$\textbf{b) El valor de }\boldsymbol{\omega_2}\textbf{ para que las dos ondas se propaguen a la misma velocidad. [0,5 puntos]}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es:

$v=\dfrac{\omega}{k}$

Para la primera onda:

$v_1=\dfrac{1{,}8}{4{,}2}=0{,}429\ \text{m/s}$

Se impone que la segunda tenga la misma velocidad, con $k_2=0{,}7\ \text{m}^{-1}$:

$\dfrac{\omega_2}{k_2}=v_1\Rightarrow \omega_2=v_1\,k_2=0{,}429\cdot0{,}7$

$\omega_2=0{,}3\ \text{rad/s}$

$\textbf{c) El valor de }\boldsymbol{\omega_2}\textbf{ para que la velocidad máxima de oscilación vertical de las partículas en las dos ondas sea la misma. [0,5 puntos]}$

La velocidad de oscilación de una partícula es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y su valor máximo es:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega$

No debe confundirse con la velocidad de propagación del apartado anterior: esta es la de cada punto del medio, que solo se mueve arriba y abajo.

Para la primera onda:

$v_{y,\text{máx},1}=8\cdot1{,}8=14{,}4\ \text{cm/s}$

Se impone la igualdad, con $A_2=16\ \text{cm}$:

$A_2\,\omega_2=14{,}4\Rightarrow \omega_2=\dfrac{14{,}4}{16}$

$\omega_2=0{,}9\ \text{rad/s}$

$\textbf{d) Las tres primeras posiciones con }\boldsymbol{x}\textbf{ positiva donde la perturbación de la primera onda es máxima y positiva en }\boldsymbol{t = 0}\textbf{. [0,6 puntos]}$

La elongación de la primera onda es máxima y positiva cuando el seno vale 1, es decir, cuando su argumento es $\pi/2$ más un número entero de vueltas:

$k_1 x-\omega_1 t+\delta=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$

En el instante $t=0$ y con $\delta=\pi/4$:

$4{,}2\,x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$

Se despeja la posición:

$x=\dfrac{\frac{\pi}{4}+2\pi n}{4{,}2}$

Para $n=0$:

$x_1=\dfrac{0{,}785}{4{,}2}=0{,}187\ \text{m}$

Para $n=1$:

$x_2=\dfrac{0{,}785+6{,}283}{4{,}2}=1{,}68\ \text{m}$

Para $n=2$:

$x_3=\dfrac{0{,}785+12{,}566}{4{,}2}=3{,}18\ \text{m}$

Las tres primeras posiciones positivas son $0{,}187\ \text{m}$, $1{,}68\ \text{m}$ y $3{,}18\ \text{m}$. Están separadas exactamente una longitud de onda, $1{,}50\ \text{m}$, como tenía que ser.