Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2024

a) La imagen muestra las dimensiones de un cuadro que se fotografía desde 4,2 m de distancia con una cámara con una lente objetivo de $+120\ \text{mm}$ de distancia focal. Calcule el área de la imagen del cuadro captada por la cámara. Indique el criterio de signos. [1,5 puntos]



b) Se miran los detalles del cuadro con una lupa. ¿Qué tipo de lente es una lupa? ¿Dónde se ha de poner el objeto que se mira con la lupa? [0,5 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) La imagen muestra las dimensiones de un cuadro que se fotografía desde 4,2 m de distancia con una cámara con una lente objetivo de }\boldsymbol{+120\ \text{mm}}\textbf{ de distancia focal. Calcule el área de la imagen del cuadro captada por la cámara. Indique el criterio de signos. [1,5 puntos]}$

Se emplea el criterio DIN, el de las fórmulas del enunciado: el origen está en el centro óptico de la lente, la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias medidas en ese sentido son positivas. El cuadro está a la izquierda de la lente, así que su distancia es negativa:

$s=-4{,}2\ \text{m}=-4200\ \text{mm},\qquad f'=+120\ \text{mm}$

Se aplica la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow \dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}$

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{-4200}=8{,}333\cdot10^{-3}-2{,}381\cdot10^{-4}$

$\dfrac{1}{s'}=8{,}095\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow s'=123{,}5\ \text{mm}$

La imagen se forma 123,5 mm detrás de la lente, que es donde ha de estar el sensor; el signo positivo indica que es real.

El aumento lateral es:

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{123{,}5}{-4200}=-0{,}0294$

El signo negativo dice que la imagen está invertida, como corresponde a una imagen real dada por una lente convergente. Cada dimensión del cuadro queda reducida por ese factor:

$y'_1=|M_T|\cdot49=0{,}0294\cdot49=1{,}44\ \text{cm}$

$y'_2=|M_T|\cdot62=0{,}0294\cdot62=1{,}82\ \text{cm}$

Y el área de la imagen es el producto de las dos, es decir, el área del cuadro multiplicada por el cuadrado del aumento:

$S'=M_T^2\,S=(0{,}0294)^2\cdot49\cdot62$

$S'=1{,}44\cdot1{,}82=2{,}63\ \text{cm}^2$

La imagen del cuadro ocupa $2{,}63\ \text{cm}^2$ del sensor.

$\textbf{b) Se miran los detalles del cuadro con una lupa. ¿Qué tipo de lente es una lupa? ¿Dónde se ha de poner el objeto que se mira con la lupa? [0,5 puntos]}$

Una lupa es una lente convergente, es decir, de distancia focal positiva.

El objeto ha de colocarse entre la lente y su foco objeto, a una distancia menor que la focal. En esa situación la lente no forma una imagen real: los rayos emergentes salen divergentes y lo que se corta son sus prolongaciones, de modo que la imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto. Es precisamente esa imagen virtual y aumentada la que ve el ojo, y por eso la lupa amplía los detalles.

Si el objeto se pusiera más allá del foco, la imagen sería real e invertida y la lente dejaría de funcionar como lupa.