Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Tres partículas de 2 μg, identificadas como $a$, $b$ y $c$, siguen las trayectorias representadas en la figura, dentro de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}$ de 15 T. Las tres partículas pasan por un punto P con la misma velocidad, $v_0 = 3\ \text{km/s}$.



a) Calcule el valor absoluto de la carga eléctrica de la partícula $a$ si su trayectoria tiene 64 cm de radio. [0,5 puntos]

b) Determine qué partícula tiene la carga eléctrica más grande en valor absoluto. [0,5 puntos]

c) Determine el signo de la carga eléctrica de cada partícula. [0,4 puntos]

d) Calcule el número de vueltas que la partícula $c$ completa durante 60 ms dentro del campo magnético uniforme si su carga es de 0,5 μC en valor absoluto. [0,6 puntos]

Dato: fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$.

$\textbf{a) Calcule el valor absoluto de la carga eléctrica de la partícula }\boldsymbol{a}\textbf{ si su trayectoria tiene 64 cm de radio. [0,5 puntos]}$

Una carga que entra perpendicularmente a un campo magnético uniforme describe una circunferencia, porque la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y actúa como fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

Se despeja la carga:

$|q_a|=\dfrac{m\,v_0}{r_a\,B}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $m=2\ \mu\text{g}=2\cdot10^{-9}\ \text{kg}$ y $v_0=3\cdot10^{3}\ \text{m/s}$:

$|q_a|=\dfrac{2\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^{3}}{0{,}64\cdot15}=\dfrac{6\cdot10^{-6}}{9{,}6}$

$|q_a|=6{,}25\cdot10^{-7}\ \text{C}=0{,}625\ \mu\text{C}$

$\textbf{b) Determine qué partícula tiene la carga eléctrica más grande en valor absoluto. [0,5 puntos]}$

Las tres partículas tienen la misma masa, la misma velocidad y están en el mismo campo, así que en

$r=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

el radio es inversamente proporcional al valor absoluto de la carga: cuanto más cerrada es la trayectoria, mayor es la carga.

En la figura la circunferencia más pequeña es la de la partícula $a$, de modo que es la partícula $a$ la que tiene la carga mayor en valor absoluto.

$\textbf{c) Determine el signo de la carga eléctrica de cada partícula. [0,4 puntos]}$










La fuerza magnética apunta siempre hacia el centro de la trayectoria, así que basta ver a qué lado de la velocidad queda cada centro.

El campo sale del papel y la velocidad en P es horizontal hacia la derecha. Para una carga positiva:

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B=q\,(v\,\vec\imath)\times(B\,\vec k)=-q\,v\,B\,\vec\jmath$

es decir, hacia abajo.





Las partículas $a$ y $b$ se curvan hacia arriba: sus centros están por encima de P, de modo que la fuerza sobre ellas es la contraria a la de una carga positiva. Las dos tienen carga negativa.

La partícula $c$ se curva hacia abajo, que es justo lo que le ocurre a una carga positiva. La partícula $c$ tiene carga positiva.

$\textbf{d) Calcule el número de vueltas que la partícula }\boldsymbol{c}\textbf{ completa durante 60 ms dentro del campo magnético uniforme si su carga es de }\boldsymbol{0{,}5\ \mu\text{C}}\textbf{ en valor absoluto. [0,6 puntos]}$

El período del movimiento circular es:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{|q|\,B}=\dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$

y no depende de la velocidad. Se sustituyen los datos:

$T=\dfrac{2\pi\cdot2\cdot10^{-9}}{0{,}5\cdot10^{-6}\cdot15}=\dfrac{1{,}257\cdot10^{-8}}{7{,}5\cdot10^{-6}}=1{,}676\cdot10^{-3}\ \text{s}$

El número de vueltas en 60 ms es:

$n=\dfrac{t}{T}=\dfrac{60\cdot10^{-3}}{1{,}676\cdot10^{-3}}=35{,}8$

La partícula $c$ completa 35 vueltas enteras y algo más de tres cuartos de la siguiente, es decir, $35{,}8$ vueltas en total.