Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Tres hilos conductores paralelos infinitos y una espira circular están colocados como muestra la figura. Los hilos que conectan la espira por debajo tienen un efecto despreciable sobre el campo magnético en el punto C. Calcule:



a) El valor de la intensidad de la corriente eléctrica $I_3$ para que el campo magnético en el punto C a causa de los tres hilos rectos salga del plano y valga 0,8 mT. Indique si la corriente $I_3$ va hacia arriba o hacia abajo. [1,5 puntos]

b) El sentido (horario o antihorario) y la intensidad de la corriente que ha de pasar por la espira circular para anular el campo magnético de los tres hilos rectos. [0,5 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; campo en el centro de una espira circular de radio $R$, $B_{\odot} = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$.

$\textbf{a) El valor de la intensidad de la corriente eléctrica }\boldsymbol{I_3}\textbf{ para que el campo magnético en el punto C a causa de los tres hilos rectos salga del plano y valga 0,8 mT. Indique si la corriente }\boldsymbol{I_3}\textbf{ va hacia arriba o hacia abajo. [1,5 puntos]}$










Con la regla de la mano derecha, un hilo con la corriente hacia arriba crea un campo entrante a su derecha y saliente a su izquierda; si la corriente va hacia abajo, ocurre lo contrario.

El punto C está a 6 mm del primer hilo, a 4 mm del segundo y a 7 mm del tercero, según las cotas de la figura.





El primer hilo lleva 18 A hacia abajo y C queda a su derecha, así que su campo es saliente:

$B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot18}{6\cdot10^{-3}}=6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}$

El segundo lleva 8 A hacia arriba y C queda a su izquierda, así que su campo también es saliente:

$B_2=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot8}{4\cdot10^{-3}}=4{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}$

Los dos suman ya $1{,}0\ \text{mT}$ salientes, más de los $0{,}8\ \text{mT}$ pedidos. El tercer hilo tiene que restar:

$B_3=B_1+B_2-B_C=1{,}0-0{,}8=0{,}2\ \text{mT}\ \text{entrante}$

El punto C queda a la izquierda del tercer hilo, y para que el campo sea entrante en ese lado la corriente ha de ir hacia abajo. Su valor se despeja de

$B_3=\dfrac{\mu_0 I_3}{2\pi r_3}$

con $r_3=4+3=7\ \text{mm}$:

$I_3=\dfrac{2\pi r_3 B_3}{\mu_0}=\dfrac{7\cdot10^{-3}\cdot2{,}0\cdot10^{-4}}{2\cdot10^{-7}}=7{,}0\ \text{A}$

Por el tercer hilo han de circular $7{,}0\ \text{A}$ hacia abajo.

$\textbf{b) El sentido (horario o antihorario) y la intensidad de la corriente que ha de pasar por la espira circular para anular el campo magnético de los tres hilos rectos. [0,5 puntos]}$

La espira está centrada en C, de modo que el campo que crea en su centro es el que da el enunciado:

$B_{\odot}=\dfrac{\mu_0 I}{2R}$

Ha de valer $0{,}8\ \text{mT}$ y ser entrante en el papel, para anular el campo saliente de los tres hilos. Por la regla de la mano derecha, un campo entrante en el centro de la espira exige que la corriente circule en sentido horario.

Se despeja la intensidad, con $R=3\ \text{mm}=3\cdot10^{-3}\ \text{m}$:

$I=\dfrac{2R\,B_{\odot}}{\mu_0}=\dfrac{2\cdot3\cdot10^{-3}\cdot0{,}8\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot10^{-7}}$

$I=3{,}82\ \text{A}$

Por la espira han de circular $3{,}82\ \text{A}$ en sentido horario.