Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

a) Enuncie la segunda ley de Kepler referida al sistema solar. [0,5 puntos]

b) Las leyes de Kepler se pueden aplicar a las lunas de un planeta muy grande, como Júpiter. La luna más cercana a Júpiter es Metis, y la más cercana de las descubiertas por Galileo es Io. Las órbitas de estas dos lunas son casi circulares. Júpiter y los radios de las órbitas están dibujados a escala en la figura. Determine el período orbital en horas de Metis, usando la tercera ley de Kepler y el período orbital de Io, que es de 1 día y 18,5 horas. [0,5 puntos]



c) Calcule la velocidad orbital $v_o$ de Io alrededor de Júpiter y determine si esta luna podría escapar de la atracción del planeta alejándose radialmente con una velocidad $v_o$ desde una distancia igual al radio orbital. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de Júpiter, $M_J = 1{,}90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Enuncie la segunda ley de Kepler referida al sistema solar. [0,5 puntos]}$

La segunda ley de Kepler, o ley de las áreas, afirma que el vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales:

$\dfrac{dA}{dt}=\text{constante}$

Como consecuencia, el planeta se mueve más deprisa cuanto más cerca está del Sol: en el perihelio el radio es corto y hay que recorrer más arco para barrer la misma área que se barre en el afelio.

La ley es la expresión geométrica de la conservación del momento angular, que se cumple porque la fuerza gravitatoria es central y su momento respecto del Sol es nulo.

$\textbf{b) Las leyes de Kepler se pueden aplicar a las lunas de un planeta muy grande, como Júpiter. La luna más cercana a Júpiter es Metis, y la más cercana de las descubiertas por Galileo es Io. Las órbitas de estas dos lunas son casi circulares. Júpiter y los radios de las órbitas están dibujados a escala en la figura. Determine el período orbital en horas de Metis, usando la tercera ley de Kepler y el período orbital de Io, que es de 1 día y 18,5 horas. [0,5 puntos]}$

Por la tercera ley de Kepler, el cociente $T^2/r^3$ es el mismo para las dos lunas:

$\dfrac{T_M^2}{r_M^3}=\dfrac{T_{Io}^2}{r_{Io}^3}$

El período de Io, en horas:

$T_{Io}=24+18{,}5=42{,}5\ \text{h}$

Los radios los da la figura:

$r_M=128\,000\ \text{km},\qquad r_{Io}=421\,800\ \text{km}$

Se despeja el período de Metis:

$T_M=T_{Io}\left(\dfrac{r_M}{r_{Io}}\right)^{3/2}=42{,}5\left(\dfrac{128\,000}{421\,800}\right)^{3/2}$

$T_M=42{,}5\cdot0{,}1672=7{,}11\ \text{h}$

Metis da una vuelta completa a Júpiter en poco más de siete horas.

$\textbf{c) Calcule la velocidad orbital }\boldsymbol{v_o}\textbf{ de Io alrededor de Júpiter y determine si esta luna podría escapar de la atracción del planeta alejándose radialmente con una velocidad }\boldsymbol{v_o}\textbf{ desde una distancia igual al radio orbital. [1 punto]}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M_J\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v_o^2}{r}\Rightarrow v_o=\sqrt{\dfrac{G\,M_J}{r}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$v_o=\sqrt{\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot1{,}90\cdot10^{27}}{4{,}218\cdot10^{8}}}=\sqrt{3{,}006\cdot10^{8}}$

$v_o=1{,}73\cdot10^{4}\ \text{m/s}=17{,}3\ \text{km/s}$

Para escapar del campo gravitatorio hay que llegar al infinito con velocidad nula, lo que exige que la energía mecánica no sea negativa. La velocidad de escape a esa distancia vale:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_J}{r}}=\sqrt2\;v_o=1{,}41\cdot1{,}73\cdot10^{4}=2{,}45\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Como $v_o<v_{\text{esc}}$, Io no podría escapar. Se ve también con la energía mecánica:

$E=\dfrac12 m v_o^2-G\dfrac{M_J\,m}{r}=\dfrac12\dfrac{G M_J m}{r}-\dfrac{G M_J m}{r}=-\dfrac12\dfrac{G M_J m}{r}<0$

La energía es negativa, es decir, Io seguiría ligada a Júpiter: se alejaría hasta una distancia máxima —el doble del radio orbital— y volvería a caer.