Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

a) Calcule la masa de nuestra Luna usando los datos de la figura. [0,5 puntos]

b) Una sonda se dirige en línea recta hacia el centro de una luna sin atmósfera, del mismo tamaño que nuestra Luna, pero de $5{,}0\cdot10^{22}\ \text{kg}$ de masa. La sonda se mueve a 7,9 km/s cuando se encuentra a 8700 km de la superficie de esta luna. Calcule la velocidad de la sonda cuando impacte sobre la superficie. [1,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Calcule la masa de nuestra Luna usando los datos de la figura. [0,5 puntos]}$

La figura da el diámetro de la Luna y la gravedad en su superficie. El campo gravitatorio en la superficie de un astro esférico vale:

$g=G\dfrac{M}{R^2}$

El radio es la mitad del diámetro:

$R=\dfrac{3476}{2}=1738\ \text{km}=1{,}738\cdot10^{6}\ \text{m}$

Se despeja la masa:

$M=\dfrac{g\,R^2}{G}=\dfrac{1{,}625\cdot(1{,}738\cdot10^{6})^2}{6{,}674\cdot10^{-11}}$

$M=\dfrac{4{,}909\cdot10^{12}}{6{,}674\cdot10^{-11}}=7{,}36\cdot10^{22}\ \text{kg}$

La masa de la Luna es de $7{,}36\cdot10^{22}\ \text{kg}$.

$\textbf{b) Una sonda se dirige en línea recta hacia el centro de una luna sin atmósfera, del mismo tamaño que nuestra Luna, pero de }\boldsymbol{5{,}0\cdot10^{22}\ \text{kg}}\textbf{ de masa. La sonda se mueve a 7,9 km/s cuando se encuentra a 8700 km de la superficie de esta luna. Calcule la velocidad de la sonda cuando impacte sobre la superficie. [1,5 puntos]}$

La luna no tiene atmósfera, así que la única fuerza que actúa sobre la sonda es la gravitatoria, que es conservativa. Por tanto, la energía mecánica se conserva entre el punto de partida y el impacto:

$\dfrac12 m v_0^2-G\dfrac{M\,m}{r_0}=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M\,m}{R}$

La masa de la sonda se simplifica: el resultado no depende de ella.

$\dfrac12 v^2=\dfrac12 v_0^2+G\,M\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r_0}\right)$

$v=\sqrt{v_0^2+2\,G\,M\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r_0}\right)}$

Las distancias se miden siempre desde el centro del astro. El radio es el mismo que el de nuestra Luna, y la distancia inicial es ese radio más la altura:

$R=1{,}738\cdot10^{6}\ \text{m}$

$r_0=1{,}738\cdot10^{6}+8{,}700\cdot10^{6}=1{,}0438\cdot10^{7}\ \text{m}$

Se sustituyen los datos:

$v=\sqrt{(7900)^2+2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}0\cdot10^{22}\left(\dfrac{1}{1{,}738\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{1{,}0438\cdot10^{7}}\right)}$

$v=\sqrt{6{,}241\cdot10^{7}+3{,}200\cdot10^{6}}=\sqrt{6{,}561\cdot10^{7}}$

$v=8{,}10\cdot10^{3}\ \text{m/s}=8{,}1\ \text{km/s}$

La sonda impacta a $8{,}1\ \text{km/s}$: la atracción de la luna la ha acelerado 200 m/s en esos 8700 km de caída.