Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

a) Copie el plano $N$-$Z$ de la figura en la hoja de respuesta con el punto central que representa un isótopo radiactivo. Dibuje las flechas que representan una desintegración $\alpha$ seguida de una desintegración $\beta^-$. [0,75 puntos]



b) ¿Cuántos años habrían de pasar para que la actividad radiactiva del carbono 14 de una muestra se redujese a una octava parte del valor inicial? [0,25 puntos]

c) Se cuentan 2200 desintegraciones por día de una muestra de un objeto de madera antiguo. La misma masa de madera actual da 140 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]

Datos: $T_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5730\ \text{a}$; $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$; $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

$\textbf{a) Copie el plano }\boldsymbol{N}\textbf{-}\boldsymbol{Z}\textbf{ de la figura en la hoja de respuesta con el punto central que representa un isótopo radiactivo. Dibuje las flechas que representan una desintegración }\boldsymbol{\alpha}\textbf{ seguida de una desintegración }\boldsymbol{\beta^-}\textbf{. [0,75 puntos]}$

En una desintegración $\alpha$ el núcleo emite una partícula alfa, que es un núcleo de helio-4 con dos protones y dos neutrones:

${}^{A}_{Z}\text{X}\rightarrow{}^{A-4}_{Z-2}\text{Y}+{}^{4}_{2}\text{He}$

El número atómico baja en dos unidades y el número de neutrones también, así que en el plano $N$-$Z$ la flecha va dos casillas a la izquierda y dos hacia abajo:

$(Z,N)=(92,146)\rightarrow(90,144)$

En una desintegración $\beta^-$ un neutrón se transforma en un protón y se emiten un electrón y un antineutrino:

${}^{A}_{Z}\text{X}\rightarrow{}^{A}_{Z+1}\text{Y}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

El número atómico sube en una unidad y el de neutrones baja en una, de modo que la flecha va una casilla a la derecha y una hacia abajo:

$(Z,N)=(90,144)\rightarrow(91,143)$



$\textbf{b) ¿Cuántos años habrían de pasar para que la actividad radiactiva del carbono 14 de una muestra se redujese a una octava parte del valor inicial? [0,25 puntos]}$

El período de semidesintegración es el tiempo en que la actividad se reduce a la mitad. Cada vez que transcurre un período la actividad se divide por dos, así que:

$\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^3}$

y hacen falta exactamente tres períodos de semidesintegración:

$t=3\,T_{1/2}=3\cdot5730=17\,190\ \text{a}$

Han de pasar $17\,190$ años.

$\textbf{c) Se cuentan 2200 desintegraciones por día de una muestra de un objeto de madera antiguo. La misma masa de madera actual da 140 desintegraciones por hora. Calcule la antigüedad en años que da el método del carbono 14. [1 punto]}$

Mientras el árbol vive, su carbono-14 se renueva y su actividad es la misma que la de la madera actual; al morir deja de reponerse y la actividad decae según la ley de desintegración.

Las dos actividades han de estar en las mismas unidades. Se pasa la de la muestra antigua a desintegraciones por hora:

$A=\dfrac{2200}{24}=91{,}7\ \text{h}^{-1},\qquad A_0=140\ \text{h}^{-1}$

La constante de desintegración es:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{5730}=1{,}2097\cdot10^{-4}\ \text{a}^{-1}$

Se despeja el tiempo de la ley de desintegración:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\dfrac{1}{\lambda}\ln\dfrac{A_0}{A}$

$t=\dfrac{1}{1{,}2097\cdot10^{-4}}\ln\dfrac{140}{91{,}7}=\dfrac{0{,}4234}{1{,}2097\cdot10^{-4}}$

$t=3{,}50\cdot10^{3}\ \text{a}$

El método del carbono-14 da una antigüedad de unos 3500 años para el objeto de madera.