Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2024

La ecuación de unas ondas mecánicas transversales de amplitud $A = 8\ \text{cm}$ es

$y(x,t) = A\cos(k\,x - \omega\,t + \delta).$

a) Para la onda con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ y $\delta = 0$, calcule cuánto ha de valer el número de onda para que la velocidad de propagación sea el doble que la velocidad de vibración máxima de las partículas que forman la onda. [0,6 puntos]

b) Para la onda con $k = 0{,}4\ \text{cm}^{-1}$, $\omega = 0{,}7\ \text{rad/s}$ y $\delta = \pi/4$, calcule la velocidad de vibración de una partícula en $x = 7\ \text{cm}$ en el instante $t = 10\ \text{s}$. [0,7 puntos]

c) En el caso del apartado b, calcule cuál es el primer instante de tiempo positivo en que la perturbación es positiva y máxima en $x = 7\ \text{cm}$. [0,7 puntos]

Datos: $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$; $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$; $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{\omega}{k}$.

$\textbf{a) Para la onda con }\boldsymbol{\omega = 2\ \text{rad/s}}\textbf{ y }\boldsymbol{\delta = 0}\textbf{, calcule cuánto ha de valer el número de onda para que la velocidad de propagación sea el doble que la velocidad de vibración máxima de las partículas que forman la onda. [0,6 puntos]}$

Conviene no confundir las dos velocidades. La velocidad de propagación es la de la perturbación a lo largo de la cuerda y vale:

$v=\dfrac{\omega}{k}$

La velocidad de vibración es la de cada partícula en su movimiento armónico transversal:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\sin(k\,x-\omega\,t+\delta)$

y su valor máximo se alcanza cuando el seno vale 1:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega$

Se impone la condición del enunciado:

$\dfrac{\omega}{k}=2A\,\omega$

La pulsación se simplifica, de modo que el resultado no depende de ella:

$k=\dfrac{1}{2A}=\dfrac{1}{2\cdot0{,}08}$

$k=6{,}25\ \text{m}^{-1}=0{,}0625\ \text{cm}^{-1}$

Con ese número de onda la velocidad de propagación es $v=2/6{,}25=0{,}32\ \text{m/s}$ y la de vibración máxima $0{,}08\cdot2=0{,}16\ \text{m/s}$, efectivamente la mitad.

$\textbf{b) Para la onda con }\boldsymbol{k = 0{,}4\ \text{cm}^{-1}}\textbf{, }\boldsymbol{\omega = 0{,}7\ \text{rad/s}}\textbf{ y }\boldsymbol{\delta = \pi/4}\textbf{, calcule la velocidad de vibración de una partícula en }\boldsymbol{x = 7\ \text{cm}}\textbf{ en el instante }\boldsymbol{t = 10\ \text{s}}\textbf{. [0,7 puntos]}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\sin(k\,x-\omega\,t+\delta)$

Como el número de onda viene en $\text{cm}^{-1}$, se trabaja en centímetros y se sustituye directamente:

$k\,x-\omega\,t+\delta=0{,}4\cdot7-0{,}7\cdot10+\dfrac{\pi}{4}$

$=2{,}8-7+0{,}7854=-3{,}415\ \text{rad}$

$v_y=8\cdot0{,}7\cdot\sin(-3{,}415)=5{,}6\cdot0{,}2696$

$v_y=1{,}51\ \text{cm/s}=1{,}51\cdot10^{-2}\ \text{m/s}$

La partícula se mueve hacia la parte positiva del eje $Y$ con una velocidad de $1{,}51\ \text{cm/s}$.

$\textbf{c) En el caso del apartado b, calcule cuál es el primer instante de tiempo positivo en que la perturbación es positiva y máxima en }\boldsymbol{x = 7\ \text{cm}}\textbf{. [0,7 puntos]}$

La elongación es máxima y positiva cuando el coseno vale 1, es decir, cuando su argumento es un múltiplo entero de $2\pi$:

$y=A\cos(k\,x-\omega\,t+\delta)=A\ \Longleftrightarrow\ k\,x-\omega\,t+\delta=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$

Se sustituyen los datos con $x=7\ \text{cm}$:

$2{,}8-0{,}7\,t+\dfrac{\pi}{4}=2\pi n$

Se despeja el tiempo:

$t=\dfrac{3{,}585-2\pi n}{0{,}7}$

Para $n=0$ resulta:

$t=\dfrac{3{,}585}{0{,}7}=5{,}12\ \text{s}$

Para $n=1$ el numerador se hace negativo y el tiempo también, así que se descarta; para $n=-1$ se obtiene $t=14{,}1\ \text{s}$, que es posterior.

El primer instante positivo en que la perturbación es máxima y positiva en $x=7\ \text{cm}$ es $t=5{,}12\ \text{s}$.