Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Dos partículas de 7 μg, identificadas como $a$ y $b$, siguen las trayectorias representadas en la figura, dentro de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}$ de 35 T. Las dos partículas pasan por un punto P con la misma velocidad, $v_0 = 6\ \text{km/s}$.



a) Calcule el valor absoluto de la carga eléctrica de la partícula $b$ si su trayectoria tiene 60 cm de radio. [0,5 puntos]

b) Determine qué partícula tiene la carga eléctrica más grande en valor absoluto. [0,5 puntos]

c) Determine el signo de la carga eléctrica de cada partícula. [0,4 puntos]

d) Calcule el tiempo que tarda la partícula $a$, de 2,9 μC en valor absoluto, en completar 3000 vueltas. [0,6 puntos]

Dato: fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$.

$\textbf{a) Calcule el valor absoluto de la carga eléctrica de la partícula }\boldsymbol{b}\textbf{ si su trayectoria tiene 60 cm de radio. [0,5 puntos]}$

Dentro de un campo magnético uniforme, una partícula que entra perpendicularmente al campo describe una circunferencia, porque la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad y hace de fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Se simplifica una velocidad y se despeja el radio:

$r=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

De ahí se obtiene la carga:

$|q_b|=\dfrac{m\,v_0}{r_b\,B}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional, con $m=7\ \mu\text{g}=7\cdot10^{-9}\ \text{kg}$ y $v_0=6\cdot10^{3}\ \text{m/s}$:

$|q_b|=\dfrac{7\cdot10^{-9}\cdot6\cdot10^{3}}{0{,}60\cdot35}=\dfrac{4{,}2\cdot10^{-5}}{21}$

$|q_b|=2{,}0\cdot10^{-6}\ \text{C}=2{,}0\ \mu\text{C}$

$\textbf{b) Determine qué partícula tiene la carga eléctrica más grande en valor absoluto. [0,5 puntos]}$

Las dos partículas tienen la misma masa y la misma velocidad y se mueven en el mismo campo, de modo que en la expresión del radio

$r=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

todo es común salvo la carga: el radio es inversamente proporcional a $|q|$. La trayectoria de menor radio corresponde a la carga mayor.

En la figura, la circunferencia de la partícula $a$ es visiblemente más pequeña que la de la partícula $b$, así que la partícula $a$ tiene la carga mayor en valor absoluto.

$\textbf{c) Determine el signo de la carga eléctrica de cada partícula. [0,4 puntos]}$










La fuerza magnética apunta en todo momento hacia el centro de la trayectoria, así que basta mirar a qué lado de la velocidad queda cada centro.

El campo es entrante en el papel. Para una carga positiva, la fuerza

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

queda a la izquierda de la velocidad, es decir, girada $90^\circ$ en sentido antihorario respecto de $\vec v_0$.





El centro de la trayectoria de la partícula $a$ está a la izquierda de $\vec v_0$, que es justo donde apunta la fuerza sobre una carga positiva: la partícula $a$ tiene carga positiva.

El centro de la trayectoria de la partícula $b$ está a la derecha de $\vec v_0$, de modo que la fuerza sobre ella es la opuesta a la de una carga positiva: la partícula $b$ tiene carga negativa.

$\textbf{d) Calcule el tiempo que tarda la partícula }\boldsymbol{a}\textbf{, de }\boldsymbol{2{,}9\ \mu\text{C}}\textbf{ en valor absoluto, en completar 3000 vueltas. [0,6 puntos]}$

El período del movimiento circular es el tiempo que tarda en recorrer una circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}$

Sustituyendo el radio obtenido en el apartado a):

$T=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m\,v}{|q|\,B}=\dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$

El período no depende de la velocidad, solo de la masa, la carga y el campo. Se sustituyen los datos:

$T=\dfrac{2\pi\cdot7\cdot10^{-9}}{2{,}9\cdot10^{-6}\cdot35}=4{,}33\cdot10^{-4}\ \text{s}$

Y el tiempo de 3000 vueltas:

$t=3000\,T=3000\cdot4{,}33\cdot10^{-4}=1{,}30\ \text{s}$

La partícula $a$ tarda $1{,}30\ \text{s}$ en dar 3000 vueltas.