Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

a) Dibuje el rectángulo y los vectores que representan cualitativamente los campos eléctricos en el punto P a causa de cada carga por separado, y la suma gráfica de los vectores. Indique el número de la flecha que representa el campo total. [0,6 puntos]

b) Calcule el vector campo en el punto A y el módulo de la fuerza sobre un electrón en este punto. [0,8 puntos]

c) Calcule el potencial eléctrico en el punto B. [0,6 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Dibuje el rectángulo y los vectores que representan cualitativamente los campos eléctricos en el punto P a causa de cada carga por separado, y la suma gráfica de los vectores. Indique el número de la flecha que representa el campo total. [0,6 puntos]}$










El punto P es el centro del rectángulo, así que está a la misma distancia de las dos cargas, la mitad de la diagonal:

$r=\dfrac12\sqrt{16^2+12^2}=\dfrac{20}{2}=10\ \text{cm}$

El campo de la carga negativa apunta hacia ella, es decir, de P hacia el vértice inferior izquierdo; el de la carga positiva se aleja de ella, es decir, del vértice inferior derecho hacia P y más allá.





Como la carga negativa es tres veces mayor en valor absoluto y las dos distancias son iguales, su campo es tres veces más largo:

$E_1=K\dfrac{|q_1|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{18\cdot10^{-9}}{0{,}10^2}=1{,}62\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$E_2=K\dfrac{|q_2|}{r^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}}{0{,}10^2}=5{,}4\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

Los dos vectores forman entre sí el ángulo de las diagonales. Sumándolos por la regla del paralelogramo, la resultante apunta hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo. En componentes, con el eje $X$ horizontal hacia la derecha:

$\vec E_P=-1{,}728\cdot10^{4}\,\vec\imath-6{,}48\cdot10^{3}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

$\tan\alpha=\dfrac{6{,}48}{17{,}28}\Rightarrow \alpha=20{,}6^\circ\ \text{por debajo del sentido negativo del eje }X$

Esa dirección, medida desde el semieje $X$ positivo, corresponde a $201^\circ$: la flecha número 4 del abanico.

$\textbf{b) Calcule el vector campo en el punto A y el módulo de la fuerza sobre un electrón en este punto. [0,8 puntos]}$










El punto A es el vértice superior izquierdo. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=12\ \text{cm}=0{,}12\ \text{m}$

$r_2=\sqrt{16^2+12^2}=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}$

El campo de la carga negativa apunta de A hacia ella, es decir, verticalmente hacia abajo. El de la positiva se aleja de ella, a lo largo de la diagonal, hacia arriba y hacia la izquierda.





Los módulos son:

$E_1=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{18\cdot10^{-9}}{0{,}12^2}=1{,}125\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

$E_2=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}}{0{,}20^2}=1{,}35\cdot10^{3}\ \text{N/C}$

El vector unitario de la diagonal, de la carga positiva hacia A, es:

$\vec u_2=\dfrac{(0,12)-(16,0)}{20}=(-0{,}8\ ;\ 0{,}6)$

Por tanto:

$\vec E_1=-1{,}125\cdot10^{4}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

$\vec E_2=1{,}35\cdot10^{3}(-0{,}8\,\vec\imath+0{,}6\,\vec\jmath)=-1{,}08\cdot10^{3}\,\vec\imath+8{,}1\cdot10^{2}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

Y aplicando el principio de superposición:

$\vec E_A=-1{,}08\cdot10^{3}\,\vec\imath-1{,}044\cdot10^{4}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

$E_A=\sqrt{(1{,}08\cdot10^{3})^2+(1{,}044\cdot10^{4})^2}=1{,}05\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

La fuerza sobre un electrón situado en A tiene por módulo:

$F=|q|\,E_A=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}05\cdot10^{4}=1{,}68\cdot10^{-15}\ \text{N}$

y, por ser la carga del electrón negativa, va en sentido contrario al campo.

$\textbf{c) Calcule el potencial eléctrico en el punto B. [0,6 puntos]}$

El punto B es el vértice superior derecho. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=\sqrt{16^2+12^2}=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m},\qquad r_2=12\ \text{cm}=0{,}12\ \text{m}$

El potencial es escalar y se suma directamente, con el signo de cada carga:

$V_B=K\left(\dfrac{q_1}{r_1}+\dfrac{q_2}{r_2}\right)=9\cdot10^{9}\left(\dfrac{-18\cdot10^{-9}}{0{,}20}+\dfrac{6\cdot10^{-9}}{0{,}12}\right)$

$V_B=9\cdot10^{9}\left(-9\cdot10^{-8}+5\cdot10^{-8}\right)=9\cdot10^{9}\cdot(-4\cdot10^{-8})$

$V_B=-360\ \text{V}$

El potencial en B es de $-360\ \text{V}$: pesa más la carga negativa, que aunque está más lejos es tres veces mayor.