Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Júpiter y las posiciones de sus lunas Io y Tebe en los periastros se han dibujado a escala en la figura. Las flechas sobre la escala indican las distancias de Tebe al centro de Júpiter cuando pasa por el periastro y por el apoastro.



a) Las leyes de Kepler se aplican a los planetas que orbitan una estrella o a las lunas que orbitan un planeta grande como Júpiter. Enuncie la segunda ley de Kepler referida al sistema solar. [0,6 puntos]

b) Io tiene un período orbital de 1 día y 18,5 horas y el semieje mayor de su órbita mide 421 800 km. Determine el período orbital en horas de Tebe con la tercera ley de Kepler aplicada al sistema de lunas de Júpiter. [0,8 puntos]

c) Calcule el cociente de la velocidad de Tebe cuando pasa por el apoastro dividida por la velocidad cuando pasa por el periastro. [0,6 puntos]

Dato: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Las leyes de Kepler se aplican a los planetas que orbitan una estrella o a las lunas que orbitan un planeta grande como Júpiter. Enuncie la segunda ley de Kepler referida al sistema solar. [0,6 puntos]}$

La segunda ley de Kepler, o ley de las áreas, afirma que el vector de posición que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.










Dicho de otro modo, la velocidad areolar del planeta es constante:

$\dfrac{dA}{dt}=\text{constante}$

La consecuencia es que el planeta no recorre la órbita con velocidad uniforme: cerca del periastro, donde el radio es corto, ha de moverse deprisa para barrer la misma área que barre despacio cerca del apoastro.





Esta ley es la traducción geométrica de la conservación del momento angular: la fuerza gravitatoria es central y su momento respecto del astro es nulo.

$\textbf{b) Io tiene un período orbital de 1 día y 18,5 horas y el semieje mayor de su órbita mide 421 800 km. Determine el período orbital en horas de Tebe con la tercera ley de Kepler aplicada al sistema de lunas de Júpiter. [0,8 puntos]}$

La tercera ley de Kepler dice que el cociente $T^2/a^3$ es el mismo para todas las lunas de Júpiter, de modo que se puede usar Io como referencia sin necesidad de conocer la masa del planeta:

$\dfrac{T_{\text{Tebe}}^2}{a_{\text{Tebe}}^3}=\dfrac{T_{\text{Io}}^2}{a_{\text{Io}}^3}$

El semieje mayor de la órbita de Tebe es la media de las distancias del periastro y del apoastro que marca la figura:

$a_{\text{Tebe}}=\dfrac{217\,995+225\,805}{2}=221\,900\ \text{km}$

El período de Io, en horas:

$T_{\text{Io}}=24+18{,}5=42{,}5\ \text{h}$

Se despeja el período de Tebe:

$T_{\text{Tebe}}=T_{\text{Io}}\left(\dfrac{a_{\text{Tebe}}}{a_{\text{Io}}}\right)^{3/2}=42{,}5\left(\dfrac{221\,900}{421\,800}\right)^{3/2}$

$T_{\text{Tebe}}=42{,}5\cdot0{,}3816=16{,}2\ \text{h}$

El período orbital de Tebe es de $16{,}2\ \text{h}$.

Con el dato de $G$ puede comprobarse además la masa de Júpiter:

$M_J=\dfrac{4\pi^2 a_{\text{Io}}^3}{G\,T_{\text{Io}}^2}=\dfrac{4\pi^2(4{,}218\cdot10^{8})^3}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot(1{,}53\cdot10^{5})^2}=1{,}90\cdot10^{27}\ \text{kg}$

$\textbf{c) Calcule el cociente de la velocidad de Tebe cuando pasa por el apoastro dividida por la velocidad cuando pasa por el periastro. [0,6 puntos]}$

En el periastro y en el apoastro la velocidad es perpendicular al radio, de modo que el módulo del momento angular vale simplemente $L=m\,v\,r$. Como la fuerza gravitatoria es central, el momento angular se conserva:

$m\,v_p\,r_p=m\,v_a\,r_a$

Se despeja el cociente pedido:

$\dfrac{v_a}{v_p}=\dfrac{r_p}{r_a}=\dfrac{217\,995}{225\,805}=0{,}965$

La velocidad en el apoastro es el $96{,}5\ \%$ de la velocidad en el periastro: Tebe va algo más despacio cuando está más lejos de Júpiter, tal como exige la segunda ley de Kepler.