Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2025

Un prisma de base semicircular de plástico transparente (figura a) se coloca sobre una plataforma circular graduada (figura b). La plataforma puede girar alrededor de su centro porque tiene un eje perpendicular por la parte de abajo. El prisma se centra como muestra la figura b. Un rayo láser se dirige a la cara plana del prisma y se refracta en dirección radial.



a) Calcule el índice de refracción del plástico del prisma a partir de la trayectoria del rayo mostrada en la figura b. [0,6 puntos]

b) Se cambia el prisma por otro de índice 1,7. La plataforma se gira $180^\circ$. El rayo entra en el prisma por la cara circular y llega a la cara plana como en la figura c. Determine el ángulo que forma el rayo a la salida de la cara plana con la prolongación de la línea del rayo que sale del láser. [0,7 puntos]



Responda c1 o c2.

c1) Un prisma de la misma forma que los anteriores es de vidrio de índice de refracción 1,55. ¿Cuál es el ángulo límite de este material en aire? ¿Se puede encontrar el ángulo límite girando la plataforma mientras el rayo entra en el prisma por la cara plana como en la figura b? [0,7 puntos]

c2) Con el mismo montaje de la figura b, se usa otro prisma de índice de refracción 1,55. La longitud de la cara plana del prisma es de 8 cm. Se determina que la longitud total recorrida por el rayo desde la salida del láser hasta una pantalla a la derecha del montaje es de 30 cm. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en hacer este recorrido? [0,7 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; ley de Snell, $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$.

$\textbf{a) Calcule el índice de refracción del plástico del prisma a partir de la trayectoria del rayo mostrada en la figura b. [0,6 puntos]}$










En la figura b el prisma ocupa la mitad de la plataforma que queda por debajo de la cara plana, de modo que el rayo llega a esa cara viajando por el aire y se refracta al entrar en el plástico.

El eje 0-0 de la escala graduada es la normal a la cara plana, así que los números que se leen sobre la plataforma son directamente los ángulos que forman los rayos con la normal:

$\hat{\imath}=20^\circ,\qquad \hat r=11^\circ$





Se aplica la ley de Snell entre el aire y el plástico:

$n_{\text{aire}}\sin\hat{\imath}=n\sin\hat r$

$n=\dfrac{\sin 20^\circ}{\sin 11^\circ}=\dfrac{0{,}3420}{0{,}1908}=1{,}79$

El índice de refracción del plástico es $n=1{,}79$. Se comprueba que el rayo se acerca a la normal al entrar, como corresponde al paso a un medio más refringente. Además, dentro del prisma el rayo va en dirección radial, así que sale por la cara circular sin volver a desviarse.

$\textbf{b) Se cambia el prisma por otro de índice 1,7. La plataforma se gira }\boldsymbol{180^\circ}\textbf{. El rayo entra en el prisma por la cara circular y llega a la cara plana como en la figura c. Determine el ángulo que forma el rayo a la salida de la cara plana con la prolongación de la línea del rayo que sale del láser. [0,7 puntos]}$










Al girar la plataforma media vuelta el prisma queda ahora por encima de la cara plana. El rayo entra por la cara circular en dirección radial, de modo que no se desvía y llega al centro, donde está la cara plana.

La orientación de la plataforma no ha cambiado respecto de la línea del láser, así que el ángulo de incidencia sobre la cara plana sigue siendo:

$\hat{\imath}=20^\circ$

pero ahora medido dentro del prisma.





Se aplica la ley de Snell, esta vez del plástico al aire:

$n\sin\hat{\imath}=n_{\text{aire}}\sin\hat r$

$\sin\hat r=1{,}7\cdot\sin 20^\circ=0{,}5814$

$\hat r=\arcsin(0{,}5814)=35{,}6^\circ$

El rayo que sale del láser sigue una línea recta que, prolongada, formaría $20^\circ$ con la normal. El rayo que sale del prisma forma $35{,}6^\circ$ con esa misma normal y por el mismo lado, así que el ángulo entre ambos es la diferencia:

$\alpha=\hat r-\hat{\imath}=35{,}6^\circ-20^\circ=15{,}6^\circ$

El rayo que sale de la cara plana forma $15{,}6^\circ$ con la prolongación de la línea del láser. Ese ángulo es, precisamente, la desviación que produce la lámina de plástico.

$\textbf{c1) Un prisma de la misma forma que los anteriores es de vidrio de índice de refracción 1,55. ¿Cuál es el ángulo límite de este material en aire? ¿Se puede encontrar el ángulo límite girando la plataforma mientras el rayo entra en el prisma por la cara plana como en la figura b? [0,7 puntos]}$

El ángulo límite es el ángulo de incidencia al que le corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$. Aplicando la ley de Snell del vidrio al aire:

$n\sin\hat\theta_L=n_{\text{aire}}\sin 90^\circ$

$\sin\hat\theta_L=\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{1{,}55}=0{,}6452$

$\hat\theta_L=\arcsin(0{,}6452)=40{,}2^\circ$

El ángulo límite del vidrio en aire vale $40{,}2^\circ$.

No se puede encontrar con el montaje de la figura b. En esa disposición el rayo entra por la cara plana, es decir, va del aire al vidrio, y en ese sentido nunca hay reflexión total: el rayo refractado se acerca a la normal y existe para cualquier ángulo de incidencia. Además, dentro del prisma el rayo viaja en dirección radial y llega a la cara circular perpendicularmente, con incidencia nula, así que tampoco allí puede reflejarse totalmente.

Para medir el ángulo límite hay que usar el montaje de la figura c, con el rayo entrando por la cara circular y llegando a la cara plana desde dentro del vidrio, e ir girando la plataforma hasta que el rayo refractado desaparezca.

$\textbf{c2) Con el mismo montaje de la figura b, se usa otro prisma de índice de refracción 1,55. La longitud de la cara plana del prisma es de 8 cm. Se determina que la longitud total recorrida por el rayo desde la salida del láser hasta una pantalla a la derecha del montaje es de 30 cm. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en hacer este recorrido? [0,7 puntos]}$

La cara plana del prisma es el diámetro de la semicircunferencia, así que su radio es:

$R=\dfrac{8}{2}=4\ \text{cm}=0{,}04\ \text{m}$

Con el montaje de la figura b, el rayo se refracta en el centro de la plataforma y recorre el prisma en dirección radial, de modo que el camino dentro del vidrio es exactamente un radio:

$e_{\text{vidrio}}=0{,}04\ \text{m}$

El resto del recorrido, hasta completar los 30 cm, lo hace por el aire:

$e_{\text{aire}}=0{,}30-0{,}04=0{,}26\ \text{m}$

La velocidad de la luz en el vidrio es:

$v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}55}=1{,}94\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

El tiempo total es la suma de los dos tramos:

$t=\dfrac{e_{\text{aire}}}{c}+\dfrac{e_{\text{vidrio}}}{v}=\dfrac{0{,}26}{3\cdot10^{8}}+\dfrac{0{,}04\cdot1{,}55}{3\cdot10^{8}}$

$t=8{,}67\cdot10^{-10}+2{,}07\cdot10^{-10}=1{,}07\cdot10^{-9}\ \text{s}$

La luz tarda $1{,}07\ \text{ns}$ en hacer el recorrido.