Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un estudiante escribió el siguiente texto en un trabajo sobre el descubrimiento de exoplanetas con el telescopio espacial Kepler.

«El telescopio envió datos de las variaciones del brillo de más de medio millón de estrellas de la Vía Láctea durante casi nueve años para detectar exoplanetas. (...) El telescopio estaba en una órbita alrededor del Sol. El período orbital del telescopio era de 372,57 días y el semieje mayor de la órbita era de 10,133 ua.»

El profesor pidió al estudiante que leyese las leyes de Kepler y, después, explicase por qué los datos orbitales del telescopio Kepler presentados no podían estar bien.

a) ¿Qué ley de Kepler ha de aplicar el estudiante para ver que los datos orbitales que escribió no son coherentes? Enuncie la ley. [0,7 puntos]

b) Cualquier objeto que orbita alrededor del Sol cumple las leyes de Kepler como los planetas. Calcule el período orbital de un objeto del sistema solar que sigue una órbita elíptica que tiene el semieje mayor de 10 ua. [0,5 puntos]

c) Determine el semieje mayor de la órbita del telescopio Kepler si el período orbital es de 373,57 días. [0,5 puntos]

d) Si un objeto como el telescopio se encontrase en un momento parado a 10 ua del Sol, lejos de los planetas, empezaría a moverse radialmente hacia el Sol. ¿Qué velocidad habría adquirido el objeto cuando se encontrase a la misma distancia del Sol que la distancia media de la Tierra al Sol? [0,8 puntos]

Datos: masa del Sol $= 1{,}99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $1\ \text{ua} = 149\,597\,871\ \text{km}$.

$\textbf{a) ¿Qué ley de Kepler ha de aplicar el estudiante para ver que los datos orbitales que escribió no son coherentes? Enuncie la ley. [0,7 puntos]}$

El estudiante ha de aplicar la tercera ley de Kepler, que relaciona el período orbital con el tamaño de la órbita.

La tercera ley de Kepler afirma que, para todos los cuerpos que orbitan alrededor de un mismo astro, el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante}$

La constante es la misma para todos ellos y solo depende de la masa del astro central:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_{\text{Sol}}}$

Los datos del texto no son coherentes porque un período de 372,57 días es prácticamente el de la Tierra, y a la Tierra le corresponde un semieje mayor de 1 ua, no de 10,133 ua. Un objeto con un semieje mayor de 10,133 ua tardaría más de treinta años en dar una vuelta al Sol, no un año.

$\textbf{b) Cualquier objeto que orbita alrededor del Sol cumple las leyes de Kepler como los planetas. Calcule el período orbital de un objeto del sistema solar que sigue una órbita elíptica que tiene el semieje mayor de 10 ua. [0,5 puntos]}$

Se calcula primero la constante de la tercera ley de Kepler para el Sol:

$\dfrac{4\pi^2}{G\,M_{\text{Sol}}}=\dfrac{4\pi^2}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}}=2{,}97\cdot10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3$

El semieje mayor, en unidades del Sistema Internacional:

$a=10\cdot1{,}49597871\cdot10^{11}=1{,}496\cdot10^{12}\ \text{m}$

Se aplica la tercera ley de Kepler:

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_{\text{Sol}}}\,a^3=2{,}97\cdot10^{-19}\cdot(1{,}496\cdot10^{12})^3=9{,}95\cdot10^{17}\ \text{s}^2$

$T=9{,}98\cdot10^{8}\ \text{s}$

Y se pasa a años:

$T=\dfrac{9{,}98\cdot10^{8}}{3{,}156\cdot10^{7}}=31{,}6\ \text{a}$

Un objeto con un semieje mayor de 10 ua tarda 31,6 años en completar una órbita.

$\textbf{c) Determine el semieje mayor de la órbita del telescopio Kepler si el período orbital es de 373,57 días. [0,5 puntos]}$

Se expresa el período en segundos:

$T=373{,}57\ \text{días}\cdot\dfrac{86400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=3{,}2276\cdot10^{7}\ \text{s}$

Se despeja el semieje mayor de la tercera ley de Kepler:

$a^3=\dfrac{T^2}{4\pi^2/(G\,M_{\text{Sol}})}=\dfrac{(3{,}2276\cdot10^{7})^2}{2{,}97\cdot10^{-19}}=3{,}505\cdot10^{33}\ \text{m}^3$

$a=1{,}519\cdot10^{11}\ \text{m}$

Y en unidades astronómicas:

$a=\dfrac{1{,}519\cdot10^{11}}{1{,}49597871\cdot10^{11}}=1{,}015\ \text{ua}$

El semieje mayor de la órbita del telescopio Kepler es de 1,015 ua, muy parecido al de la Tierra y diez veces menor que el que escribió el estudiante. Ahí está el error del texto.

$\textbf{d) Si un objeto como el telescopio se encontrase en un momento parado a 10 ua del Sol, lejos de los planetas, empezaría a moverse radialmente hacia el Sol. ¿Qué velocidad habría adquirido el objeto cuando se encontrase a la misma distancia del Sol que la distancia media de la Tierra al Sol? [0,8 puntos]}$

El campo gravitatorio es conservativo y la única fuerza que actúa sobre el objeto es la del Sol, de modo que la energía mecánica se conserva entre las dos posiciones:

$E_c(r_0)+E_p(r_0)=E_c(r)+E_p(r)$

El objeto parte del reposo, así que su energía cinética inicial es nula:

$0-G\dfrac{M_{\text{Sol}}\,m}{r_0}=\dfrac12 m v^2-G\dfrac{M_{\text{Sol}}\,m}{r}$

Se simplifica la masa del objeto y se despeja la velocidad:

$\dfrac12 v^2=G\,M_{\text{Sol}}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0}\right)$

$v=\sqrt{2\,G\,M_{\text{Sol}}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_0}\right)}$

Se sustituyen las distancias, con $r=1\ \text{ua}$ y $r_0=10\ \text{ua}$:

$v=\sqrt{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}\left(\dfrac{1}{1{,}496\cdot10^{11}}-\dfrac{1}{1{,}496\cdot10^{12}}\right)}$

$v=4{,}00\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Al pasar por la órbita de la Tierra el objeto llevaría una velocidad de $40\ \text{km/s}$.