Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2025

Dos prismas semicirculares de plástico transparentes distintos (figura a) se colocan sobre una plataforma circular graduada con las caras planas en contacto (figura b). La plataforma puede girar alrededor del centro porque tiene un eje perpendicular por la parte de abajo. Un rayo láser incide perpendicularmente a la cara circular del prisma 1, de índice de refracción 1,68.



a) Calcule el índice de refracción del plástico del prisma 2 a partir de la trayectoria del rayo mostrada en la figura. [0,7 puntos]

b) Si el índice de refracción del prisma 2 es 1,77, calcule el ángulo límite entre los dos prismas. ¿Por qué prisma ha de entrar el rayo para que se refleje totalmente en la cara plana? [0,7 puntos]

Responda c1 o c2.

c1) El prisma 2 se cambia por otro de índice de refracción 1,55 y radio $R$. La luz del láser tarda el mismo tiempo en atravesar este prisma que en atravesar el prisma 1, que tiene un radio de 3,5 cm. Calcule $R$. [0,6 puntos]

c2) Se usan dos prismas sobre la plataforma con los índices de refracción $n_1$ constante y $n_2$ función de la longitud de onda de la luz. El ángulo de incidencia de un rayo de luz blanca sobre la cara plana entre los prismas es de $45^\circ$. La luz visible se dispersa entre las líneas $a$ y $b$. ¿El color rojo queda en la parte $a$ o $b$ de la luz dispersada? El espectro visible va de 400 nm a 700 nm. [0,6 puntos]



Datos: $n_1 = 1{,}468$; $n_2(\lambda\ \text{en nm}) = 1{,}824 + \dfrac{5200}{\lambda^2}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; ley de Snell, $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$.

$\textbf{a) Calcule el índice de refracción del plástico del prisma 2 a partir de la trayectoria del rayo mostrada en la figura. [0,7 puntos]}$










El rayo entra perpendicularmente a la cara circular del prisma 1, de modo que no se desvía al entrar y llega al centro de la plataforma, que es donde está la cara plana común a los dos prismas.

El eje 0-0 de la escala graduada es precisamente la normal a esa cara plana, así que los números que se leen en la plataforma son los ángulos de incidencia y de refracción.

Sobre la escala se lee $\hat{\imath}=40^\circ$ para el rayo que llega y $\hat r=35^\circ$ para el que sale.





Aplicando la ley de Snell en la cara plana, con el rayo pasando del prisma 1 al prisma 2:

$n_1\sin\hat{\imath}=n_2\sin\hat r$

$n_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}}{\sin\hat r}=\dfrac{1{,}68\cdot\sin 40^\circ}{\sin 35^\circ}$

$n_2=\dfrac{1{,}68\cdot0{,}6428}{0{,}5736}=1{,}88$

El índice de refracción del prisma 2 es $n_2=1{,}88$. El resultado es coherente con la figura: el rayo se acerca a la normal al pasar al segundo prisma, lo que solo ocurre cuando el segundo medio es más refringente que el primero.

$\textbf{b) Si el índice de refracción del prisma 2 es 1,77, calcule el ángulo límite entre los dos prismas. ¿Por qué prisma ha de entrar el rayo para que se refleje totalmente en la cara plana? [0,7 puntos]}$










El ángulo límite es el ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$. Para ángulos mayores que él ya no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al primer medio: es la reflexión total.

La reflexión total solo puede producirse cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente. Como $n_2=1{,}77>n_1=1{,}68$, el rayo ha de entrar por el prisma 2.





Aplicando la ley de Snell con $\hat r=90^\circ$ y el rayo yendo del prisma 2 al prisma 1:

$n_2\sin\hat\theta_L=n_1\sin 90^\circ$

$\sin\hat\theta_L=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{1{,}68}{1{,}77}=0{,}9492$

$\hat\theta_L=\arcsin(0{,}9492)=71{,}7^\circ$

El ángulo límite entre los dos prismas es de $71{,}7^\circ$, y el rayo debe entrar por el prisma 2, que es el más refringente de los dos.

$\textbf{c1) El prisma 2 se cambia por otro de índice de refracción 1,55 y radio }\boldsymbol{R}\textbf{. La luz del láser tarda el mismo tiempo en atravesar este prisma que en atravesar el prisma 1, que tiene un radio de 3,5 cm. Calcule }\boldsymbol{R}\textbf{. [0,6 puntos]}$

El rayo entra perpendicularmente a la cara circular del prisma 1, de modo que recorre un radio completo hasta el centro de la plataforma. Y como la refracción ocurre justo en el centro, dentro del segundo prisma el rayo también recorre un radio completo, sea cual sea el ángulo con el que salga.

Los caminos recorridos son, por tanto, los radios de cada prisma:

$e_1=3{,}5\ \text{cm},\qquad e_2=R$

La velocidad de la luz en un medio de índice $n$ es:

$v=\dfrac{c}{n}$

de manera que el tiempo empleado en atravesar cada prisma vale:

$t=\dfrac{e}{v}=\dfrac{e\,n}{c}$

Se impone que los dos tiempos sean iguales:

$\dfrac{e_1\,n_1}{c}=\dfrac{R\,n_2'}{c}\Rightarrow R=\dfrac{e_1\,n_1}{n_2'}$

$R=\dfrac{3{,}5\cdot1{,}68}{1{,}55}=3{,}79\ \text{cm}$

El radio del nuevo prisma ha de ser $R=3{,}79\ \text{cm}$. Es mayor que el del prisma 1 porque su índice de refracción es menor y la luz lo atraviesa más deprisa.

$\textbf{c2) Se usan dos prismas sobre la plataforma con los índices de refracción }\boldsymbol{n_1}\textbf{ constante y }\boldsymbol{n_2}\textbf{ función de la longitud de onda de la luz. El ángulo de incidencia de un rayo de luz blanca sobre la cara plana entre los prismas es de }\boldsymbol{45^\circ}\textbf{. La luz visible se dispersa entre las líneas }\boldsymbol{a}\textbf{ y }\boldsymbol{b}\textbf{. ¿El color rojo queda en la parte }\boldsymbol{a}\textbf{ o }\boldsymbol{b}\textbf{ de la luz dispersada? El espectro visible va de 400 nm a 700 nm. [0,6 puntos]}$

La luz blanca se dispersa porque el índice del segundo prisma depende de la longitud de onda: cada color se refracta con un ángulo distinto. Basta calcular los dos extremos del espectro visible.

Para el violeta, $\lambda=400\ \text{nm}$:

$n_2=1{,}824+\dfrac{5200}{400^2}=1{,}824+0{,}0325=1{,}8565$

Para el rojo, $\lambda=700\ \text{nm}$:

$n_2=1{,}824+\dfrac{5200}{700^2}=1{,}824+0{,}0106=1{,}8346$

Aplicando la ley de Snell en la cara plana para cada color:

$\sin\theta_2=\dfrac{n_1\sin 45^\circ}{n_2}=\dfrac{1{,}468\cdot0{,}7071}{n_2}$

Para el violeta:

$\sin\theta_2=\dfrac{1{,}0381}{1{,}8565}=0{,}5592\Rightarrow \theta_2=34{,}0^\circ$

Para el rojo:

$\sin\theta_2=\dfrac{1{,}0381}{1{,}8346}=0{,}5659\Rightarrow \theta_2=34{,}5^\circ$

El rojo es el que menos índice de refracción encuentra y, por tanto, el que menos se acerca a la normal: sale con el mayor ángulo de refracción de todo el espectro. En la figura, la línea $b$ es la más alejada de la normal a la cara plana, de modo que el color rojo queda en la parte $b$ de la luz dispersada.