Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2025

Tres hilos conductores rectos, paralelos entre sí y muy largos, están situados en un plano como muestra la figura. Las intensidades de las corrientes que llevan los hilos son, en valor absoluto, $I_1 = 9\ \text{A}$, $I_2 = 7\ \text{A}$ e $I_3 = 4\ \text{A}$. Los sentidos de las corrientes $I_1$ e $I_3$ son hacia arriba. Determine:



a) La intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética por unidad de longitud sobre el tercer hilo a causa del primero. [0,7 puntos]

b) El módulo de la intensidad $I_2$ cuando la fuerza magnética a causa de las corrientes de los hilos 1 y 3 sobre el segundo hilo es de 0,7 mN/m. [0,8 puntos]

Responda c1 o c2.

c1) Se establecen corrientes de 20 A hacia arriba en los tres hilos. Cuatro partículas con cargas eléctricas de 36 nC cada una pasan por los puntos $\text{P}_1$, $\text{P}_2$, $\text{P}_3$ y $\text{P}_4$ con una velocidad de 50 km/s con las direcciones y los sentidos que marcan las flechas y los símbolos de la figura. Determine la intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética sobre cada partícula. [1 punto]

c2) Cesan las corrientes $I_1$ e $I_2$ y la corriente $I_3$ es alterna, de manera que el campo magnético en mT en el punto $\text{P}_1$ vale $60\cos(70\,t + 0{,}8\ \text{rad})$ cuando el tiempo se da en segundos.

i) Calcule la fuerza electromotriz en $t = 0{,}1\ \text{s}$ que causaría un campo uniforme en el espacio con esta intensidad en una espira circular de 5 mm de radio cuando un diámetro de la espira es paralelo al campo.

ii) Repita el cálculo cuando el diámetro es perpendicular al campo. [1 punto]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; la fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados una distancia $d$ es $\dfrac{F}{L} = \mu_0\,\dfrac{I_1 I_2}{2\pi d}$.

$\textbf{a) La intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética por unidad de longitud sobre el tercer hilo a causa del primero. [0,7 puntos]}$










El hilo 1 crea en la posición del hilo 3 un campo magnético perpendicular al plano de la figura. Con la regla de la mano derecha, y como $I_1$ va hacia arriba, ese campo es entrante a la derecha del hilo 1.

La distancia entre los hilos 1 y 3 es la suma de las cuatro cotas:

$d_{13}=3+3+2+2=10\ \text{mm}=10^{-2}\ \text{m}$





La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos es la que da el enunciado:

$\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I_1 I_3}{d_{13}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$\dfrac{F}{L}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}}{2\pi}\cdot\dfrac{9\cdot4}{10^{-2}}=7{,}2\cdot10^{-4}\ \text{N/m}$

La fuerza sobre el tercer hilo vale $0{,}72\ \text{mN/m}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia el hilo 1: las corrientes tienen el mismo sentido y dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen.

$\textbf{b) El módulo de la intensidad }\boldsymbol{I_2}\textbf{ cuando la fuerza magnética a causa de las corrientes de los hilos 1 y 3 sobre el segundo hilo es de 0,7 mN/m. [0,8 puntos]}$

El hilo 2 está entre los otros dos, a $d_{12}=6\ \text{mm}$ del primero y a $d_{23}=4\ \text{mm}$ del tercero. Los hilos 1 y 3 llevan corrientes del mismo sentido, de manera que uno tira del hilo 2 hacia la izquierda y el otro hacia la derecha: las dos fuerzas son opuestas y la resultante es su diferencia.

$\dfrac{F}{L}=\left|\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I_1 I_2}{d_{12}}-\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I_3 I_2}{d_{23}}\right|=\dfrac{\mu_0\,I_2}{2\pi}\left|\dfrac{I_1}{d_{12}}-\dfrac{I_3}{d_{23}}\right|$

Se evalúa el corchete:

$\dfrac{I_1}{d_{12}}-\dfrac{I_3}{d_{23}}=\dfrac{9}{6\cdot10^{-3}}-\dfrac{4}{4\cdot10^{-3}}=1500-1000=500\ \text{A/m}$

Y se despeja la intensidad:

$I_2=\dfrac{2\pi}{\mu_0}\cdot\dfrac{F/L}{500}=\dfrac{0{,}7\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-7}\cdot500}=7\ \text{A}$

El módulo de la intensidad es $I_2=7\ \text{A}$, en concordancia con el dato del enunciado. Obsérvese que el resultado no depende del sentido de $I_2$: al invertirlo se invierten las dos fuerzas a la vez y el módulo de la resultante no cambia.

$\textbf{c1) Se establecen corrientes de 20 A hacia arriba en los tres hilos. Cuatro partículas con cargas eléctricas de 36 nC cada una pasan por los puntos }\boldsymbol{\text{P}_1}\textbf{, }\boldsymbol{\text{P}_2}\textbf{, }\boldsymbol{\text{P}_3}\textbf{ y }\boldsymbol{\text{P}_4}\textbf{ con una velocidad de 50 km/s con las direcciones y los sentidos que marcan las flechas y los símbolos de la figura. Determine la intensidad, la dirección y el sentido de la fuerza magnética sobre cada partícula. [1 punto]}$










Se calcula primero el campo total en cada vertical. Se toma el eje $X$ hacia la derecha, el eje $Y$ hacia arriba y el eje $Z$ saliente del papel.

Con la regla de la mano derecha, un hilo con la corriente hacia arriba crea un campo entrante a su derecha y saliente a su izquierda.





Los puntos $\text{P}_1$ y $\text{P}_2$ están a 3 mm del hilo 1 y a 3 mm del hilo 2. Como las tres corrientes son iguales, esos dos campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, y se cancelan. Solo queda el del hilo 3, que está a 7 mm y es saliente:

$B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20}{2\pi\cdot7\cdot10^{-3}}=5{,}71\cdot10^{-4}\ \text{T}$

$\vec B_{1,2}=+5{,}71\cdot10^{-4}\,\vec k\ \text{T}$

Los puntos $\text{P}_3$ y $\text{P}_4$ están a 2 mm del hilo 2 y a 2 mm del hilo 3, y por la misma razón esos dos campos se cancelan. Solo queda el del hilo 1, que está a 8 mm y es entrante:

$B=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20}{2\pi\cdot8\cdot10^{-3}}=5{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}$

$\vec B_{3,4}=-5{,}0\cdot10^{-4}\,\vec k\ \text{T}$

La fuerza sobre una carga en movimiento es $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$. Para la partícula que pasa por $\text{P}_1$, con la velocidad hacia la izquierda:

$\vec F_1=q\,(-v\,\vec\imath)\times(B\,\vec k)=-q\,v\,B\,(\vec\imath\times\vec k)=+q\,v\,B\,\vec\jmath$

$F_1=36\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{4}\cdot5{,}71\cdot10^{-4}=1{,}03\cdot10^{-6}\ \text{N}$

La fuerza sobre la primera partícula vale $1{,}03\ \mu\text{N}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia arriba.

Para la partícula que pasa por $\text{P}_2$ la velocidad es la opuesta, de modo que la fuerza también lo es:

$\vec F_2=-1{,}03\cdot10^{-6}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Vale $1{,}03\ \mu\text{N}$ y apunta hacia abajo.

Las partículas que pasan por $\text{P}_3$ y $\text{P}_4$ se mueven perpendicularmente al papel, es decir, en la misma dirección que el campo magnético que hay en esa vertical. El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo:

$\vec F_3=\vec F_4=q\,(\pm v\,\vec k)\times(-B\,\vec k)=\vec 0$

Sobre esas dos partículas no actúa fuerza magnética alguna.

$\textbf{c2) Cesan las corrientes }\boldsymbol{I_1}\textbf{ e }\boldsymbol{I_2}\textbf{ y la corriente }\boldsymbol{I_3}\textbf{ es alterna, de manera que el campo magnético en mT en el punto }\boldsymbol{\text{P}_1}\textbf{ vale }\boldsymbol{60\cos(70\,t + 0{,}8\ \text{rad})}\textbf{ cuando el tiempo se da en segundos. i) Calcule la fuerza electromotriz en }\boldsymbol{t = 0{,}1\ \text{s}}\textbf{ que causaría un campo uniforme en el espacio con esta intensidad en una espira circular de 5 mm de radio cuando un diámetro de la espira es paralelo al campo. ii) Repita el cálculo cuando el diámetro es perpendicular al campo. [1 punto]}$

Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo magnético cambiada de signo:

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt},\qquad \Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\alpha$

i) Si un diámetro de la espira es paralelo al campo, el campo está contenido en el plano de la espira y es perpendicular al vector superficie:

$\alpha=90^\circ\Rightarrow \Phi=0\ \text{Wb en todo instante}$

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=0\ \text{V}$

No se induce fuerza electromotriz alguna: el flujo es nulo siempre, por mucho que el campo varíe.

ii) Si el diámetro es perpendicular al campo, el campo es perpendicular al plano de la espira y paralelo al vector superficie, de modo que el flujo es máximo:

$\Phi=B(t)\,S,\qquad S=\pi R^2=\pi(5\cdot10^{-3})^2=7{,}854\cdot10^{-5}\ \text{m}^2$

$\Phi(t)=60\cdot10^{-3}\cos(70\,t+0{,}8)\cdot7{,}854\cdot10^{-5}\ \text{Wb}$

Se deriva respecto del tiempo:

$\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=S\,B_0\,\omega\,\sin(70\,t+0{,}8)$

$\varepsilon=7{,}854\cdot10^{-5}\cdot60\cdot10^{-3}\cdot70\cdot\sin(70\,t+0{,}8)$

$\varepsilon=3{,}30\cdot10^{-4}\sin(70\,t+0{,}8)\ \text{V}$

Y en el instante pedido, con el argumento en radianes:

$\varepsilon(0{,}1)=3{,}30\cdot10^{-4}\cdot\sin(7{,}8)=3{,}29\cdot10^{-4}\ \text{V}$

La fuerza electromotriz inducida en ese instante es de $0{,}33\ \text{mV}$.