Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2025

En dos vértices de un triángulo equilátero de 8 cm de lado hay las cargas eléctricas $q_1$ y $q_2$.



a) El campo eléctrico $\mathbf{E}_v$ creado por las cargas $q_1$ y $q_2$ en el punto A es perpendicular a la base del triángulo y tiene una intensidad de 20,7 kN/C. Determine el signo y el valor de las cargas $q_1$ y $q_2$. [0,7 puntos]

b) Calcule la diferencia de potencial $V(\text{B}) - V(\text{A})$ cuando $q_1 = 20\ \text{nC}$ y $q_2 = 20\ \text{nC}$. [0,7 puntos]

Responda c1 o c2.

c1) Determine el valor y el signo de $q_2$ cuando $q_1 = 18\ \text{nC}$ y el campo eléctrico es nulo en el punto B. [0,6 puntos]

c2) Dada la carga $q_1$, determine $q_2/q_1$ cuando el campo total en el punto A creado por las dos cargas es paralelo a la base del triángulo. [0,6 puntos]

Dato: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$.

$\textbf{a) El campo eléctrico }\boldsymbol{\vec E_v}\textbf{ creado por las cargas }\boldsymbol{q_1}\textbf{ y }\boldsymbol{q_2}\textbf{ en el punto A es perpendicular a la base del triángulo y tiene una intensidad de 20,7 kN/C. Determine el signo y el valor de las cargas }\boldsymbol{q_1}\textbf{ y }\boldsymbol{q_2}\textbf{. [0,7 puntos]}$










El triángulo es equilátero, así que las dos cargas están a la misma distancia del vértice A:

$r_1=r_2=8\ \text{cm}=0{,}08\ \text{m}$

y cada campo forma $60^\circ$ con la base, uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda.

Para que el campo total sea perpendicular a la base, sus componentes horizontales han de anularse:

$E_1\cos 60^\circ=E_2\cos 60^\circ\Rightarrow E_1=E_2$





Como las dos distancias son iguales, esto obliga a que las dos cargas tengan el mismo valor absoluto:

$K\dfrac{|q_1|}{r^2}=K\dfrac{|q_2|}{r^2}\Rightarrow |q_1|=|q_2|=q$

El campo del enunciado se aleja de la base del triángulo. El campo creado por una carga positiva sale de ella, de modo que dos cargas positivas producen en A dos vectores que apuntan hacia arriba; dos cargas negativas producirían el campo opuesto. Las dos cargas son, por tanto, positivas.

Por el principio de superposición, el módulo del campo total es la suma de las dos componentes verticales:

$E_v=E_1\sin 60^\circ+E_2\sin 60^\circ=2K\dfrac{q}{r^2}\sin 60^\circ=\sqrt3\,K\dfrac{q}{r^2}$

Se despeja la carga y se sustituyen los datos:

$q=\dfrac{E_v\,r^2}{\sqrt3\,K}=\dfrac{20{,}7\cdot10^{3}\cdot(0{,}08)^2}{\sqrt3\cdot9\cdot10^{9}}=8{,}5\cdot10^{-9}\ \text{C}$

Las dos cargas son positivas y valen $q_1=q_2=8{,}5\ \text{nC}$.

$\textbf{b) Calcule la diferencia de potencial }\boldsymbol{V(\text{B})-V(\text{A})}\textbf{ cuando }\boldsymbol{q_1 = 20\ \text{nC}}\textbf{ y }\boldsymbol{q_2 = 20\ \text{nC}}\textbf{. [0,7 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar, así que el potencial creado por varias cargas es la suma de los potenciales de cada una:

$V=K\sum_i\dfrac{q_i}{r_i}$

El punto B está sobre la base, a 3 cm de $q_1$ y a 5 cm de $q_2$:

$V(\text{B})=K\,q\left(\dfrac{1}{0{,}03}+\dfrac{1}{0{,}05}\right)=9\cdot10^{9}\cdot20\cdot10^{-9}\cdot53{,}33=9600\ \text{V}$

El punto A es el tercer vértice, a 8 cm de las dos cargas:

$V(\text{A})=K\,q\left(\dfrac{1}{0{,}08}+\dfrac{1}{0{,}08}\right)=9\cdot10^{9}\cdot20\cdot10^{-9}\cdot25=4500\ \text{V}$

Por tanto:

$V(\text{B})-V(\text{A})=9600-4500=5100\ \text{V}=5{,}1\ \text{kV}$

La diferencia de potencial es de $5{,}1\ \text{kV}$: para llevar una carga positiva de A a B habría que hacer trabajo contra el campo.

$\textbf{c1) Determine el valor y el signo de }\boldsymbol{q_2}\textbf{ cuando }\boldsymbol{q_1 = 18\ \text{nC}}\textbf{ y el campo eléctrico es nulo en el punto B. [0,6 puntos]}$










El punto B está entre las dos cargas y alineado con ellas. Para que los dos campos se anulen han de tener sentidos opuestos, y eso solo ocurre si las dos cargas son del mismo signo. Como $q_1$ es positiva, $q_2$ también lo es.

Además sus módulos han de ser iguales:

$K\dfrac{q_1}{r_{1B}^2}=K\dfrac{q_2}{r_{2B}^2}$





Se despeja $q_2$ y se sustituyen las distancias:

$q_2=q_1\left(\dfrac{r_{2B}}{r_{1B}}\right)^2=18\cdot10^{-9}\cdot\left(\dfrac{0{,}05}{0{,}03}\right)^2=50\cdot10^{-9}\ \text{C}$

La segunda carga debe ser positiva y valer $q_2=50\ \text{nC}$.

$\textbf{c2) Dada la carga }\boldsymbol{q_1}\textbf{, determine }\boldsymbol{q_2/q_1}\textbf{ cuando el campo total en el punto A creado por las dos cargas es paralelo a la base del triángulo. [0,6 puntos]}$

Ahora se pide lo contrario que en el apartado a): que se anule la componente perpendicular a la base y sobreviva la paralela.

Las dos cargas siguen estando a la misma distancia $r$ del punto A, y las dos direcciones forman el mismo ángulo de $60^\circ$ con la base, de modo que la componente vertical del campo total es:

$E_v=K\dfrac{q_1}{r^2}\sin 60^\circ+K\dfrac{q_2}{r^2}\sin 60^\circ$

Se impone que sea nula:

$\dfrac{K\sin 60^\circ}{r^2}\,(q_1+q_2)=0\Rightarrow q_2=-q_1$

$\dfrac{q_2}{q_1}=-1$

Las dos cargas han de ser opuestas: iguales en valor absoluto y de signos contrarios. Con esa condición las componentes horizontales, en lugar de cancelarse, se suman, y el campo resultante en A es paralelo a la base y de módulo $K q_1/r^2$.