Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Isaac Newton dedujo que el cociente entre el período orbital al cuadrado y el semieje mayor de la órbita al cubo de un planeta que orbita alrededor de una estrella era

$\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\,(M_{\text{estrella}} + M_{\text{planeta}})}.$

a) Describa de manera breve y concisa por qué esta expresión sirvió para justificar la tercera ley de Kepler. [0,6 puntos]

b) La masa de la estrella $\alpha$-Centauri B es $M_B = 1{,}789\cdot10^{30}\ \text{kg}$. Determine el valor del cociente $T^2/a^3$ para un sistema planetario alrededor de esta estrella. [0,4 puntos]

c) Calcule el período orbital en años de un hipotético planeta que orbitase alrededor de la estrella $\alpha$-Centauri B con una órbita elíptica con el periastro a 0,45 ua y el apoastro a 0,60 ua. [0,6 puntos]

d) En el año 2012, el Observatorio Europeo Austral anunció el descubrimiento de un planeta que orbitaba alrededor de la estrella $\alpha$-Centauri B. Se determinó que tenía una masa parecida a la de la Tierra y que su período orbital era de 3,2357 días. Calcule la longitud en unidades astronómicas del semieje mayor de la órbita de este planeta usando la tercera ley de Kepler. [0,4 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}9736\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $1\ \text{ua} = 149\,597\,871\ \text{km}$.

$\textbf{a) Describa de manera breve y concisa por qué esta expresión sirvió para justificar la tercera ley de Kepler. [0,6 puntos]}$

La tercera ley de Kepler es una ley empírica: afirma que, para los planetas que giran alrededor de una misma estrella, el cociente entre el cuadrado del período orbital y el cubo del semieje mayor de la órbita es el mismo para todos ellos.

Newton obtuvo esa misma relación a partir de la ley de gravitación universal y de la segunda ley de la dinámica, y encontró además el valor de la constante:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,(M_{\text{estrella}}+M_{\text{planeta}})}$

La masa de cualquier planeta es despreciable frente a la de su estrella, de modo que el segundo miembro solo depende de la masa de la estrella. Por tanto, todos los planetas de un mismo sistema comparten el mismo cociente, que es justamente lo que enuncia la tercera ley de Kepler. La expresión de Newton no solo la justifica: explica por qué la constante es distinta para cada estrella y permite calcularla.

$\textbf{b) La masa de la estrella }\boldsymbol{\alpha}\textbf{-Centauri B es }\boldsymbol{M_B = 1{,}789\cdot10^{30}\ \text{kg}}\textbf{. Determine el valor del cociente }\boldsymbol{T^2/a^3}\textbf{ para un sistema planetario alrededor de esta estrella. [0,4 puntos]}$

Como la masa de los planetas es despreciable frente a la de la estrella, el cociente vale:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_B}$

Se sustituyen los datos del enunciado en unidades del Sistema Internacional:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot1{,}789\cdot10^{30}}=3{,}31\cdot10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3$

El cociente vale $3{,}31\cdot10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3$ para cualquier planeta que orbite alrededor de $\alpha$-Centauri B.

$\textbf{c) Calcule el período orbital en años de un hipotético planeta que orbitase alrededor de la estrella }\boldsymbol{\alpha}\textbf{-Centauri B con una órbita elíptica con el periastro a 0,45 ua y el apoastro a 0,60 ua. [0,6 puntos]}$










El periastro y el apoastro son los dos extremos del eje mayor de la elipse, medidos desde el foco que ocupa la estrella. Su suma es, por tanto, el eje mayor completo:

$r_p+r_a=2a\Rightarrow a=\dfrac{r_p+r_a}{2}$

$a=\dfrac{0{,}45+0{,}60}{2}=0{,}525\ \text{ua}$





Se expresa el semieje mayor en unidades del Sistema Internacional:

$a=0{,}525\cdot1{,}49597871\cdot10^{11}=7{,}854\cdot10^{10}\ \text{m}$

Aplicando la tercera ley de Kepler con la constante del apartado anterior:

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_B}\,a^3=3{,}31\cdot10^{-19}\cdot(7{,}854\cdot10^{10})^3=1{,}602\cdot10^{14}\ \text{s}^2$

$T=1{,}266\cdot10^{7}\ \text{s}$

Y se pasa a años:

$T=1{,}266\cdot10^{7}\ \text{s}\cdot\dfrac{1\ \text{a}}{3{,}156\cdot10^{7}\ \text{s}}=0{,}401\ \text{a}$

El período orbital de ese planeta sería de $0{,}401$ años, algo menos de cinco meses.

$\textbf{d) En el año 2012, el Observatorio Europeo Austral anunció el descubrimiento de un planeta que orbitaba alrededor de la estrella }\boldsymbol{\alpha}\textbf{-Centauri B. Se determinó que tenía una masa parecida a la de la Tierra y que su período orbital era de 3,2357 días. Calcule la longitud en unidades astronómicas del semieje mayor de la órbita de este planeta usando la tercera ley de Kepler. [0,4 puntos]}$

Se comprueba primero que la masa del planeta es efectivamente despreciable, de modo que sirve la constante del apartado b):

$\dfrac{M_T}{M_B}=\dfrac{5{,}9736\cdot10^{24}}{1{,}789\cdot10^{30}}=3{,}3\cdot10^{-6}$

El período, en unidades del Sistema Internacional:

$T=3{,}2357\ \text{días}\cdot\dfrac{86400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=2{,}7956\cdot10^{5}\ \text{s}$

Despejando el semieje mayor de la tercera ley de Kepler:

$a^3=\dfrac{T^2}{4\pi^2/(G\,M_B)}=\dfrac{(2{,}7956\cdot10^{5})^2}{3{,}31\cdot10^{-19}}=2{,}364\cdot10^{29}\ \text{m}^3$

$a=6{,}183\cdot10^{9}\ \text{m}$

Y en unidades astronómicas:

$a=\dfrac{6{,}183\cdot10^{9}}{1{,}49597871\cdot10^{11}}=0{,}0413\ \text{ua}$

El planeta orbita a $0{,}0413$ ua de la estrella, unas veinticinco veces más cerca de lo que está la Tierra del Sol.